Poisson-Gleichung

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Die Poisson-Gleichung, benannt nach dem französischen Mathematiker und Physiker Siméon Denis Poisson, ist eine elliptische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die als Teil von Randwertproblemen in weiten Teilen der Physik Anwendung findet.

Mathematische Formulierung

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Die Poisson-Gleichung lautet allgemein

Dabei bezeichnet

  • den Laplace-Operator
  • die gesuchte Lösung
  • eine Funktion. Ist , so wird die Gleichung zur Laplace-Gleichung.

Um die Poisson-Gleichung zu lösen, müssen noch weitere Informationen gegeben sein, z. B. in Form einer Dirichlet-Randbedingung:

mit offen und beschränkt.

In diesem Fall konstruiert man eine Lösung mithilfe der Fundamentallösung der Laplace-Gleichung:

Dabei bezeichnet den Flächeninhalt der Einheitssphäre im -dimensionalen euklidischen Raum.

Durch die Faltung erhält man eine Lösung der Poisson-Gleichung.

Um auch die Randwertbedingung zu erfüllen, kann man die greensche Funktion verwenden

ist dabei eine Korrekturfunktion, die

erfüllt. Sie ist im Allgemeinen von abhängig und nur für einfache Gebiete leicht zu finden.

Kennt man , so ist eine Lösung des Randwertproblems von oben gegeben durch

wobei das Oberflächenmaß auf bezeichne.

Die Lösung kann man auch mithilfe des Perron-Verfahrens oder mittels Variationsrechnung finden.

Anwendungen in der Physik

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Der Poisson-Gleichung genügen beispielsweise das elektrostatische Potential und das Gravitationspotential, jeweils mit Formelzeichen . Dabei ist die Funktion proportional zur elektrischen Ladungsdichte bzw. zur Massendichte

Ist überall bekannt, so ist die allgemeine Lösung der Poisson-Gleichung, die für große Abstände gegen Null geht, das Integral[1]

.

In Worten: jede Ladung am Ort im kleinen Gebiet der Größe trägt additiv bei zum Potential am Ort mit ihrem elektrostatischen oder Gravitationspotential:

Da das elektrostatische Feld ein konservatives Feld ist, kann es über den Gradienten eines Potentials ausgedrückt werden:

Mit Anwendung der Divergenz ergibt sich

mit dem Laplace-Operator .

Gemäß der ersten Maxwellgleichung gilt jedoch auch

mit

  • der Ladungsdichte
  • der Permittivität .

Damit folgt für die Poisson-Gleichung des elektrischen Feldes

Der Spezialfall für jeden Ort im betrachteten Gebiet wird als Laplace-Gleichung der Elektrostatik bezeichnet.

Elektrodynamik stationärer Ströme

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Als Beispiel wird hier der Emitter einer Silizium-Solarzelle betrachtet, der in guter Näherung als rein zweidimensional beschrieben werden kann. Der Emitter befinde sich in der x-y-Ebene, die z-Achse zeige in die Basis hinein. Die laterale Flächenstromdichte im Emitter hängt von der am Emitter auftretenden z-Komponente der (Volumen-)Stromdichte der Basis ab, was durch die Kontinuitätsgleichung in der Form

beschrieben werden kann (mit dem zweidimensionalen Nabla-Operator ). Die Flächenstromdichte hängt über das lokale ohmsche Gesetz mit dem lateralen elektrischen Feld im Emitter zusammen: ; hier ist der als homogen angenommene spezifische Flächenwiderstand des Emitters. Schreibt man (wie im Abschnitt zur Elektrostatik diskutiert) das elektrische Feld als Gradient des elektrischen Potentials, , so erhält man für die Potentialverteilung im Emitter eine Poisson-Gleichung in der Form

Ebenso wie das elektrostatische Feld

,

ist auch das Gravitationsfeld g ein konservatives Feld:

.

Dabei ist

  • G die Gravitationskonstante
  • die Massendichte.


Da nur die Ladungen durch Massen und durch ersetzt werden, gilt analog zur ersten Maxwellgleichung

.

Damit ergibt sich die Poisson-Gleichung der Gravitation zu

.

Einzelnachweise

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  1. Wolfgang Nolting: Grundkurs theoretische Physik. [Online-ausg. der] 8. [gedr.] Auflage. 3. Elektrodynamik. Springer, Berlin, ISBN 978-3-540-71252-7.