Weierstraßscher Vorbereitungssatz

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Der Weierstraßsche Vorbereitungssatz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher. Er stellt einen Zusammenhang zwischen Nullstellen konvergenter Potenzreihen und Weierstraß-Polynomen her.

Einführung und Formulierung des Satzes

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Es bezeichne den Ring der konvergenten Potenzreihen um 0 in Veränderlichen; dieser Ring ist kanonisch isomorph zum Ring der Keime holomorpher Funktionen in Veränderlichen um den Nullpunkt.

Ein ist genau dann eine Einheit des Rings , d. h. in dem Ring invertierbar, wenn ist, was wiederum bedeutet, dass der konstante Term der Potenzreihe von Null verschieden ist.

Jedes kann mittels der Festlegung als Element von aufgefasst werden; hiermit wird der Ring zu einem Unterring von . Auch der Polynomring ist dann ein Unterring von . Wenn im Kontext des Weierstraßschen Vorbereitungssatzes von Polynomgrad oder Grad gesprochen wird, dann ist der Grad von Elementen aus als Polynome in gemeint.

Ein Weierstraß-Polynom ist ein Element aus der Form

mit konvergenten Potenzreihen , die in 0 verschwinden, d. h. mit .

Eine Potenzreihe heißt in regulär, falls die holomorphe Funktion nicht die Nullfunktion ist, und in regulär von der Ordnung , falls die Funktion in 0 eine Nullstelle der Ordnung hat.

Mit diesen Begriffsbildungen gilt der folgende Satz, genannt Weierstraßscher Vorbereitungssatz.[1][2]

Sei eine konvergente Potenzreihe, die in regulär von der Ordnung ist. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Weierstraß-Polynom vom Grad und eine eindeutig bestimmte Einheit mit .

konvergiert auf einem geeigneten Polykreis . Da in regulär von der Ordnung ist, findet man , so dass die Funktion für jedes feste genau Nullstellen im Kreis hat. Diese seien mit bezeichnet, wobei für Mehrfachnullstellen Wiederholungen auftreten. Multipliziert man

aus, so erhält man ein Weierstraß-Polynom, das das Verlangte leistet.

Der Name Vorbereitungssatz rührt daher, dass die Potenzreihe für die Untersuchung ihrer Nullstellen vorbereitet wird. Da der Faktor als Einheit in einer Umgebung von 0 nicht verschwindet, sind die Nullstellen in einer solchen Umgebung dieselben wie die des Weierstraß-Polynoms.[3]

Für , das heißt für holomorphe Funktionen einer Variablen, muss das Weierstraß-Polynom das normierte Monom sein. Es ist dann mit einer holomorphen Funktion , die in 0 nicht verschwindet. Der Vorbereitungssatz verallgemeinert daher die Tatsache, dass eine holomorphe Funktion einer Veränderlichen mit -facher Nullstelle in 0 als mit einer holomorphen in 0 nicht verschwindenden Funktion geschrieben werden kann, auf Dimensionen.

Zur Einordnung des Satzes soll noch erwähnt werden, dass sich aus ihm sehr leicht ein Satz über implizite Funktionen ergibt.[4] Ist nämlich in regulär von erster Ordnung, so hat nach dem Vorbereitungssatz die Form

mit einer holomorphen Funktion . Da , gilt in einer Umgebung von 0

.

Einzelnachweise

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  1. Wolfgang Ebeling: Funktionentheorie, Differentialtopologie und Singularitäten, Vieweg-Verlag (2001), ISBN 978-3-528-03174-9, Theorem 2.1
  2. Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965, Kap. II.B, Theorem 2 (Weierstrass Preparation Theorem)
  3. Wolfgang Ebeling: Funktionentheorie, Differentialtopologie und Singularitäten, Vieweg-Verlag (2001), ISBN 978-3-528-03174-9, Bemerkung 2.3
  4. Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965, Kap. II.B, Seite 70