Der Hauptraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra und eine Verallgemeinerung des Eigenraums. Haupträume spielen eine große Rolle beim Aufstellen der jordanschen Normalform und der Berechnung einer zugehörigen Basis.
Ist
eine lineare Abbildung aus einem endlichdimensionalen Vektorraum
in sich selbst,
ein Eigenwert von
und bezeichnet
die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes
, dann nennt man den Kern der
-fachen Hintereinanderausführung von
Hauptraum zum Eigenwert
, d. h.
.
Dabei steht
für die identische Abbildung auf
.
Der Hauptraum wird also von genau den Vektoren
aufgespannt, für die
gilt. Insbesondere ist der Eigenraum zu einem Eigenwert ein Untervektorraum des Hauptraums zu diesem Eigenwert.
Die Elemente des Hauptraums werden manchmal auch Hauptvektoren genannt. Diesen Hauptvektoren kann man eine Stufe oder einen Level zuordnen. Sei
ein Endomorphismus und
ein Eigenwert des Endomorphismus. Ein Vektor
heißt Hauptvektor der Stufe
, wenn
![{\displaystyle (F-\lambda \,\mathrm {id} )^{p}(v)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15d54fbe446cf6d5e634fb79c8bac19019693bc8)
aber
![{\displaystyle (F-\lambda \,\mathrm {id} )^{p-1}(v)\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eed15f3d3d02919b9ed8bf65531df8effc5547d)
gilt. Alle Eigenvektoren sind somit Hauptvektoren der Stufe 1.
Es sei
ein Endomorphismus, und sein charakteristisches Polynom
![{\displaystyle \chi _{F}(t)=\pm \prod _{j=1}^{k}(t-\lambda _{j})^{r_{j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3614a253e6445289668e7143f501d1f1549f76c7)
zerfalle vollständig in Linearfaktoren mit paarweise verschiedenen
.
Dann gilt:
- Der Hauptraum ist
-invariant, das heißt
.
- Die Dimensionen der Haupträume stimmen mit den Vielfachheiten der Nullstellen des charakteristischen Polynoms überein, also
.
- Die Haupträume bilden eine direkte Zerlegung (innere direkte Summe) von
. Es gilt also
.
- Der Endomorphismus
besitzt eine Zerlegung
. Darin ist
diagonalisierbar,
ist nilpotent, und es gilt
.
Sei eine Matrix
gegeben, deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt:
.
Außerdem soll gelten:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\dim \operatorname {Ker} \left(A-2I\right)&=2\,,\quad \dim \operatorname {Ker} \left(A-2I\right)^{2}=3\,,\quad \dim \operatorname {Ker} \left(A-2I\right)^{3}=3\\\dim \operatorname {Ker} \left(A-4I\right)&=1\,,\quad \dim \operatorname {Ker} \left(A-4I\right)^{2}=2\,,\quad \dim \operatorname {Ker} \left(A-4I\right)^{3}=3\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4746df93a3b0cef6fb8f7a5b992670c225e453b)
Die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts 2 beträgt 3 und die des Eigenwerts 4 beträgt 3. Die Eigenräume haben die Dimension 2 bzw. 1, also kleiner als die jeweilige algebraische Vielfachheit, weshalb die Matrix nicht diagonalisierbar ist. Es lässt sich aber die Jordansche Normalform
konstruieren
![{\displaystyle J={\begin{bmatrix}2&0&0&0&0&0\\0&2&1&0&0&0\\0&0&2&0&0&0\\0&0&0&4&1&0\\0&0&0&0&4&1\\0&0&0&0&0&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85d675081d281d7a1c09925f1d6c9b4d8d667a1b)
über eine Ähnlichkeitstransformation mit der Transformationsmatrix
,
wobei die Spaltenvektoren von
den Hauptvektoren
entsprechen:
![{\displaystyle P={\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}&p_{5}&p_{6}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25ceb5062a73663e0ed23f67ab75aa64c8511394)
Die Transformation
lautet mit Hilfe der Hauptvektoren:
![{\displaystyle A{\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}&p_{5}&p_{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}&p_{5}&p_{6}\end{bmatrix}}J={\begin{bmatrix}2p_{1}&2p_{2}&2p_{3}+p_{2}&4p_{4}&4p_{5}+p_{4}&4p_{6}+p_{5}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd4e700df803a916cd11d43da3828ec666fce28)
Somit folgt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(A-2I\right)p_{1}&=0\\\left(A-2I\right)p_{2}&=0\\\left(A-2I\right)p_{3}&=p_{2}\quad \Rightarrow \quad \left(A-2I\right)^{2}p_{3}=\left(A-2I\right)p_{2}=0\\\left(A-4I\right)p_{4}&=0\\\left(A-4I\right)p_{5}&=p_{4}\quad \Rightarrow \quad \left(A-4I\right)^{2}p_{5}=\left(A-4I\right)p_{4}=0\\\left(A-4I\right)p_{6}&=p_{5}\quad \Rightarrow \quad \left(A-4I\right)^{3}p_{6}=\left(A-4I\right)^{2}p_{5}=\left(A-4I\right)p_{4}=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5960f56f93c8e411890438ccd6050d4491ba1c71)
,
und
sind Hauptvektoren erster Stufe (also Eigenvektoren),
und
Hauptvektoren zweiter Stufe und
ist ein Hauptvektor dritter Stufe.
Damit werden die Kerne der Abbildungen
wie folgt von den Hauptvektoren aufgespannt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ker} \left(A-2I\right)&=\left\langle p_{1},p_{2}\right\rangle \,,\quad \operatorname {Ker} \left(A-2I\right)^{n}=\left\langle p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle \ {\text{mit}}\ n\geq 2\,,\\\operatorname {Ker} \left(A-4I\right)&=\left\langle p_{4}\right\rangle \,,\quad \operatorname {Ker} \left(A-4I\right)^{2}=\left\langle p_{4},p_{5}\right\rangle \,,\quad \operatorname {Ker} \left(A-4I\right)^{n}=\left\langle p_{4},p_{5},p_{6}\right\rangle \ {\text{mit}}\ n\geq 3\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42de1d2215d61c21d350dffbc40a3b7a69077780)
Die Haupträume und Eigenräume zu den beiden Eigenwerten lauten damit, wobei die Eigenräume Unterräume der jeweiligen Haupträume sind:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Hau} (A,2)=\operatorname {Ker} (A-2I)^{2}=\left\langle p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle &\supset \operatorname {E} (A,2)=\operatorname {Ker} (A-2I)=\left\langle p_{1},p_{2}\right\rangle \\\operatorname {Hau} (A,4)=\operatorname {Ker} (A-4I)^{3}=\left\langle p_{4},p_{5},p_{6}\right\rangle &\supset \operatorname {E} (A,4)=\operatorname {Ker} (A-4I)=\left\langle p_{4}\right\rangle \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb7b45ffcb44475f87db13d903a99f725542c397)
Die Dimensionen der Haupträume stimmen mit den Vielfachheiten der Nullstellen des charakteristischen Polynoms überein, also
und
.
Die Haupträume bilden eine direkte Zerlegung von
, d. h.
.
Die Matrix
besitzt eine Zerlegung
, wobei
diagonalisierbar und
nilpotent ist:
mit
![{\displaystyle J_{D}={\begin{bmatrix}2&0&0&0&0&0\\0&2&0&0&0&0\\0&0&2&0&0&0\\0&0&0&4&0&0\\0&0&0&0&4&0\\0&0&0&0&0&4\end{bmatrix}}\ ,\quad J_{N}={\begin{bmatrix}0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274337532b9d18e289b9498e9e3cb50532f66b4d)