Satz von der eingeschränkten Invertierbarkeit

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Der Satz von der eingeschränkten Invertierbarkeit (englisch restricted invertibility theorem), auch Satz von Bourgain-Tzafriri, ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Das Theorem beschäftigt sich mit der Frage der Invertierbarkeit eines linearen Operators (respektive einer quadratischen Matrix) auf einem endlichdimensionalen -Raum. Das Theorem hat bedeutende Anwendungen in der lokalen Theorie der Banach-Räume.

Der Satz wurde von Jean Bourgain und Lior Tzafriri bewiesen.[1]

Eingeschränkte Invertierbarkeit

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Notation:

  • ist der Folgenraum der -summierbaren Folgen.
  • ist die Operatornorm.
  • ist die Kardinalität von .

Sei ein linearer Operator, so dass für jeden Einheitsvektor gilt

.

Dann existieren universelle Konstanten und eine Index-Untermenge , welche mindestens

Indizes hat, so dass für die Norm der Restriktion gilt

wobei beliebige Skalare sind.[2]

Erläuterungen an einem Beispiel

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Sei eine reelle -Matrix und bezeichnet die Restriktion von auf die Spalten mit Indizes in

Es gilt nun für jeden Vektor , dass

Betrachtet man nun den kleinsten Singulärwert (oder allgemeiner die Schatten-Norm)

dann gilt

und daraus folgt, dass invertierbar ist. Weiter besitzt mindestens Spalten. Außerdem folgt aus der Konditionsnummer

dass die Operatornorm der Inversen nach oben beschränkt ist

Verallgemeinerungen

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Es existieren diverse Verallgemeinerungen und verwandte Aussagen (u. a. von Spielman-Srivastava, Vershynin und Naor-Youssef). Zum Beispiel kann die Restriktion der Einheitsvektoren entfernt werden. Es existiert auch eine Version für unendlichdimensionale Räume.[3]

Bourgain-Tzafriri-Vermutung

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Eine Verallgemeinerung ist die Bourgain-Tzafriri-Vermutung (BT-Vermutung), welche äquivalent zum Kadison-Singer-Problem (KS-Problem) ist. Das KS-Problem wurde 2013 positiv gelöst und somit auch die BT-Vermutung.

Sei ein linearer Operator, so dass für jeden Einheitsvektor gilt

.

Dann existiert eine universelle Konstante , so das für jede positive Zahl mit

ein und eine Partition von existieren, so dass

wobei beliebige Skalare sind.[4]

Einzelnachweise

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  1. J. Bourgain und L. Tzafriri: Invertibility of ‘large’ submatrices with applications to the geometry of Banach spaces and harmonic analysis. In: Israel Journal of Mathematics. Band 57, Nr. 2, 1987, S. 137–224, doi:10.1007/BF02772174.
  2. Daniel A. Spielman und Nikhil Srivastava: An Elementary Proof of the Restricted Invertibility Theorem. Hrsg.: arXiv. 2009, doi:10.48550/ARXIV.0911.1114, arxiv:0911.1114 [abs].
  3. Peter G. Casazza und Götz E. Pfander: Infinite dimensional restricted invertibility. Hrsg.: arXiv. 2009, doi:10.48550/arxiv.0905.0656, arxiv:0905.0656 [abs].
  4. Peter G. Casazza und Roman Vershynin: Kadison-Singer meets Bourgain-Tzafriri. 2005.