T-Norm

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Eine T-Norm, oft auch klein t-Norm, ist eine mathematische Funktion, die im Bereich mehrwertiger Logiken, insbesondere in der Fuzzy-Logik, Bedeutung erlangt hat. Der Begriff leitet sich vom Englischen triangular norm, zu Deutsch Dreiecksnorm ab, und rührt daher, dass eine T-Norm eine dreiecksähnliche Fläche im beschreibt.

Eine T-Norm ist auf dem Einheitsintervall [0,1] definiert

und muss folgende Eigenschaften aufweisen (zur exakten Definition dieser Eigenschaften siehe die Tabelle zu T-Norm und T-Conorm am Ende dieses Artikels):

Die T-Norm dient dazu, für mehrwertige Logiken einen verallgemeinerten Konjunktions-Operator zu stellen. Die oben genannten Eigenschaften sind gleichsam allgemeinste Eigenschaften eines solchen Operators: Assoziativität und Kommutativität sind selbstverständlich. Die Monotonie garantiert eine gewisse Regelmäßigkeit in der Struktur von Definitions- und Zielmenge. Die „1“ als neutrales Element ermöglicht Konjunktionen, deren Ergebnis nur von einem Operanden abhängt.

Diese Eigenschaften werden im Zusammenhang mit Fuzzy-Mengen verwendet, um die Schnittmengen-Operation nachzubilden.

Komplementär zu T-Normen werden T-Conormen (auch S-Normen genannt) verwendet, als Bezeichner ist entsprechend ⊥ oder S üblich:

Mit Hilfe der De Morganschen Gesetze lässt sich auf der Basis einer T-Norm, welche Konjunktion bzw. Schnittmenge liefert, und einer Negation die Disjunktions- bzw. die Vereinigungsmengen-Operation ableiten.

Verallgemeinerung: Es kann ein anderer als der Standard-Negator

verwendet werden. Damit wird obige Beziehung verallgemeinert zu

Die Mindestanforderungen an einen Negator sind im Allgemeinen: Monotonie (fallend), n(0)=1, n(1)=0.
In diesem Zusammenhang wird aber strenge Monotonie und Involutivität n(n(x)) = x, d. h. n = n−1, gefordert:
Das Tripel heißt dann De-Morgan-Triplett.

Geläufige T-Normen und T-Conormen

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Die angegebenen T-Conormen sind jeweils bezüglich der Standardnegation N(x)=1-x zur entsprechenden T-Norm dual, also über die De Morganschen Gesetze verknüpft. Mit anderen involutiven Negationen ergeben sich im Allgemeinen auch andere T-Conormen.

Die erstgenannte wird wegen ihrer Einfachheit und ihrer unten genannten Eigenschaften am häufigsten eingesetzt. Die 3. T-Norm, sowie deren T-Conorm kommen aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Weiterhin gelten folgende Zusammenhänge:


D. h., dass die drastische T-Norm (T-1) die kleinste und die Minimum-T-Norm die größte ist. Umgekehrtes gilt für die T-Conorm. T(a, b) bzw. ⊥(a, b) steht hierbei für jede beliebige T-Norm bzw. T-Conorm.

Zusammenhänge zwischen T-Norm und T-Conorm

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Aufgrund der schon erwähnten De Morganschen Gesetze ergeben sich folgende komplementären Zusammenhänge:

1-⊥(a,b) = T(1-a, 1-b)     und     1-T(a,b) = ⊥(1-a, 1-b)

Den obigen Axiomen für T-Normen entsprechen folgende Bedingungen für eine T-Conorm:

T-Norm T-Conorm
Nullelement: T(0,a) = T(a,0) = 0 ⊥(a,1) = ⊥(1,a) = 1
Neutrales Element: T(a,1) = T(1,a) = a ⊥(0,a) = ⊥(a,0) = a
Assoziativität: T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c) ⊥(a,⊥(b,c)) = ⊥(⊥(a,b),c)
Kommutativität: T(a,b) = T(b,a) ⊥(a,b) = ⊥(b,a)
Monotonie: a ≤ b ⇒ T(a,c) ≤ T(b,c) a ≤ b ⇒ ⊥(a,c) ≤ ⊥(b,c)

Diese Beziehungen gelten nicht nur für den Standard-Negator, sondern für jedes De-Morgan-Triplett.

Zusammenhang zwischen T-Norm und Copula

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Eine T-Norm hat die positive Rechteck-Eigenschaft, wenn für gilt:

Jede T-Norm mit positiver Rechteck-Eigenschaft ist eine bivariate Copula (siehe Grabisch et al. 2009). Von obigen Beispielen sind gleichzeitig Copulae, jedoch nicht.