Gleichverteilung

Der Begriff Gleichverteilung stammt aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und beschreibt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit bestimmten Eigenschaften. Im diskreten Fall tritt jeder mögliche Zustand mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ein, im stetigen Fall ist die Dichte konstant. Der Grundgedanke einer Gleichverteilung ist, dass es keine Präferenz gibt.

Beispielsweise sind die Ergebnisse beim Würfeln die sechs möglichen Zustände nach einem Wurf: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Bei einem idealen Würfel beträgt die Eintrittswahrscheinlichkeit jedes dieser Werte 1/6, da sie für jeden möglichen Wert gleich groß ist und die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten 1 ergeben muss.

Definition

Diskreter Fall

→ Hauptartikel: Diskrete Gleichverteilung

Sei $\Omega$ eine endliche Menge. Dann ist bei einer Gleichverteilung die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ eines Ereignisses $A$ mit $A\subseteq\Omega$ definiert durch die Laplace-Formel:

$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{\text{Anzahl der Elemente von }A}{\text{Anzahl der Elemente von }\Omega}.$

Stetiger Fall

→ Hauptartikel: Stetige Gleichverteilung

Sei $\Omega$ ein endliches reelles Intervall, also $\Omega = [a,b]$ für $a,b \in \mathbb{R}$. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $A\subset \Omega$ ist bei einer Gleichverteilung definiert als

$P(A) = \int_A\frac 1{\lambda(\Omega)}\,\mathrm d\lambda (x) = \frac{\lambda(A)}{\lambda(\Omega)} = \frac{\lambda(A)}{b-a},$

wobei $\lambda$ das Lebesgue-Maß bezeichnet. Insbesondere gilt für ein Teilintervall $A = [c,d] \subset [a,b]$

$P(A) = \frac{\lambda(A)}{\lambda(\Omega)} = \frac{d-c}{b-a}.$

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist hier eine stückweise konstante Funktion $\rho$ mit:

$\rho(x)=\begin{cases} \frac 1{b-a} & a \le x \le b,\\ 0 & \text{sonst}. \end{cases}$

Mit Hilfe der Indikatorfunktion des Intervalls $[a,b]$ schreibt sich dies kürzer in der Form

$\rho(x) = \frac 1{b-a} \cdot \mathbf{1}_{[a,b]}(x).$

In ähnlicher Weise kann man eine stetige Gleichverteilung auch auf beschränkten Teilmengen $\Omega$ des $n$-dimensionalen Raumes $\mathbb{R}^n$ erklären. Für ein Ereignis $A \subset \Omega$ erhält man die zum eindimensionalen Fall analoge Formel

$P(A) = \int_A\frac 1{\lambda^n(\Omega)}\,\mathrm d\lambda^n (x) = \frac{\lambda^n(A)}{\lambda^n(\Omega)},$

wobei $\lambda^n$ das $n$-dimensionale Lebesgue-Maß bezeichnet.

Beispiele

• Beim Würfeln eines idealen Würfels ist die Wahrscheinlichkeit jeder Augenzahl zwischen eins und sechs gleich 1/6.
• Beim Münzwurf einer idealen Münze ist die Wahrscheinlichkeit für jede der beiden Seiten gleich 1/2.
• Im Weißen Rauschen sind die Frequenzen stetig gleichverteilt.

Laplace

Die Gleichverteilung war Forschungsgebiet für Pierre-Simon Laplace, der vorschlug, dass man, wenn man auf einem Wahrscheinlichkeitsraum das Wahrscheinlichkeitsmaß nicht kenne, erst einmal Gleichverteilung annehmen solle (Indifferenzprinzip). Nach ihm nennt man einen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathfrak{P}(\Omega),\mathcal{U}_{\Omega})$ für endliches Ω auch Laplace-Raum.

Siehe auch

• Gesetz der kleinen Zahlen
• Gleichverteilung modulo 1