Äquivalenz (Matrix)

Die Äquivalenz im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der $m \times n$-Matrizen.

Zwei Matrizen $A$ und $B$ sind per Definition äquivalent, wenn es eine lineare Abbildung

$f: \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^m$ gibt und es Basen $B_1, B_2$ von $\mathbb{K}^n$ und $C_1, C_2$ von $\mathbb{K}^m$ gibt, so dass

$A = _{B_1}M(f) _{C_1}$ und

$B = _{B_2}M(f) _{C_2}$ gilt,

d.h. $A$ ist eine Darstellung von $f$ bezüglich der Basen $B_1$ von $\mathbb{K}^n$ und $C_1$ von $\mathbb{K}^m$, und $B$ ist eine Darstellung von $f$ bezüglich der Basen $B_2$ von $\mathbb{K}^n$ und $C_2$ von $\mathbb{K}^m$.

Äquivalente Aussage

Zur Aussage „die $m \times n$-Matrizen $A$ und $B$ sind äquivalent über dem Körper $K$“ ist folgende Aussage äquivalent:

• Es gibt eine invertierbare $m \times m$-Matrix $S$ und eine invertierbare $n \times n$-Matrix $T$ über $K$, so dass $B = SAT$ gilt.

Aussagen über äquivalente Matrizen

• Zwei reguläre Matrizen vom gleichen Typ sind äquivalent.
• Zwei Matrizen vom gleichen Typ und demselben Rang sind äquivalent.

Äquivalente Matrizen und ähnliche Matrizen

Ein Spezialfall von äquivalenten Matrizen sind die ähnlichen Matrizen.

Literatur

• Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 4-te Auflage, Vieweg 1985, ISBN 3-528-37235-4. S.101 und S. 163

Siehe auch

• Ähnlichkeit (Matrix)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Equivalent Matrix. In: MathWorld. (englisch)