Äquivalenz von Masse und Energie

Skulptur Relativitätstheorie im Berliner Walk of Ideas zur FIFA-Fußball-Weltmeisterschaft in Deutschland 2006

Die Äquivalenz von Masse und Energie (oder kurz: E=mc²) ist die Erkenntnis der relativistischen Physik, dass Masse und Energie nicht unabhängig sind; vielmehr besitzt jedes physikalische System mit der Masse $m$ eine Ruheenergie

$E_{0}=mc^{2}.$

Dabei ist $c$ die Lichtgeschwindigkeit. Diese Erkenntnis wurde 1905 durch Albert Einstein formuliert.

Durch den großen Faktor $c^2$ gehen Energieumsätze, wie sie im Alltag typisch sind, nur mit unmerklich kleinen Änderungen der Masse einher. So ist z. B. die Sonne trotz ihrer hohen Temperatur nur um etwa 0,0001 % massereicher, als wenn sie kalt wäre. Daher bleibt die Trennung der Konzepte von Masse und Energie in vielen Bereichen sinnvoll. In der Kernphysik, Elementarteilchenphysik und Astrophysik tritt die Äquivalenz von Masse und Energie allerdings weit deutlicher in Erscheinung. Treffen beispielsweise ein Teilchen und das zugehörige Antiteilchen aufeinander, so vernichten sie sich gegenseitig. Die Energie der entstehenden Photonen entspricht der Masse der dabei vernichteten Teilchen. Aber auch Atomkerne sind aufgrund der Bindungsenergie knapp 1 % masseärmer als ihre ungebundenen Kernbausteine.

Überblick und Beispiele

Dass die Äquivalenz von Masse und Energie in der klassischen Physik wie im Alltag unbemerkt blieb, lässt sich aus der Größe des Faktors $c^2\mathord \approx\,9\cdot 10^{16}\,m^2/s^2$ heraus verstehen. Nach $E_{0}=mc^{2}$ entsprechen den Energieumsätzen von normaler Größe (etwa bei chemischen Reaktionen wie Verbrennung oder bei Erzeugung von Wärme durch mechanische Arbeit) nur extrem kleine Änderungen der Masse, die mit der Waage auch heute kaum messbar sind. Infolgedessen wurden für abgeschlossene Systeme zwei getrennte Erhaltungssätze aufgestellt: Erhaltung der gesamten Masse, Erhaltung der gesamten Energie. Da jedoch Umwandlungen zwischen kinetischer Energie und Ruheenergie möglich sind (Beispiele: inelastischer Stoß, radioaktiver Zerfall) und nur die Ruheenergie zur Masse beiträgt, ist die Massenerhaltung nicht allgemein gültig. Die mit einer Energieübertragung $\Delta E$ verbundene Änderung $\Delta m \mathord=\Delta E/c^2$ der Masse eines Objekts wird auch als Massenzuwachs bzw. Massendefekt bezeichnet. An Stelle von zwei Erhaltungssätzen hat man also nur noch einen, den Energieerhaltungssatz.

Die an der Masse ablesbare Ruheenergie übersteigt die kinetische Energie in alltäglichen Situationen um viele Größenordnungen. Zwar ließe die in Wärme umgewandelte kinetische Energie eine Raumkapsel bei der Rückkehr verglühen, wenn sie nicht durch den sogenannten Hitzeschild abgeschirmt würde; dabei ist aber diese sehr hohe kinetische Energie nur ein winziger Bruchteil (etwa 1/2 Milliardstel) der Ruheenergie:

$\frac{\frac{1}{2}\,m\, v^2\,}{m\, c^2\,} \; \approx \; \frac{1}{2}\left(\frac{10\;\text{km/s}}{300\,000\;\text{km/s}}\right)^2 \; \approx \; 0,5 \cdot 10^{-9}.$

Ein Wasserstoff-Atom hat gegenüber einem freien Elektron und einem freien Proton nur ca. 1/70 000 000 weniger Masse. Für Atomkerne ist der Beitrag jedoch recht groß: Beispielsweise rund 0,8 % bei ¹²C.

Bekannte Beispiele für die Äquivalenz von Masse und Energie sind:

• Vernichtungsstrahlung: Ein Teilchenpaar Elektron–Positron, das zusammen eine Masse von ca. 2·10^-30kg besitzt, kann sich in masselose Strahlung auflösen: zwei Gammaquanten von je 511 keV Energie. Die Ruheenergie $E_{0}=mc^{2}$ des Systems vor der Kernreaktion und die Energie der entstehenden Strahlung sind gleich groß.
• Kernspaltung: Ein Atomkern des Elements Uran kann in mehrere Bruchstücke zerplatzen, deren Massen zusammen ca. 0,1 % leichter sind als der Urankern. Die dabei freigesetzte Energie entspricht nach $E_{0}=mc^{2}$ genau der Abnahme der Masse und kann (bei Spaltung einer entsprechenden Stoffmenge) u. a. als Explosion (Atombombe) oder Wärmequelle (Kernkraftwerk) in Erscheinung treten.
• Die Sonne verliert allein durch das von ihr abgestrahlte Licht in jeder Sekunde rund 4 Millionen Tonnen Masse. Verglichen mit der gesamten Masse der Sonne von rund $2\cdot 10^{30} \; \text{kg}$ ist dieser Anteil jedoch weitgehend vernachlässigbar. Auch nach mehreren Milliarden Jahren hat die Sonne weit weniger als ein Promille an Masse durch Strahlung verloren.

Einordnung

Die moderne Physik formuliert die Begriffe Masse und Energie mithilfe der Energie-Impuls-Beziehung der speziellen Relativitätstheorie: Demnach hat jedes abgeschlossene physikalische System eine Gesamtenergie $E$ und einen Impuls $\vec p = (p_x, p_y, p_z),$ deren Werte je nach dem gewählten Bezugssystem verschieden sein können, sowie eine unveränderliche Masse $m$, die eine vom Bezugssystem unabhängige Eigenschaft des betrachteten Systems ist. Die Größen $(\tfrac{E}{c}, \vec p)$ bilden die Komponenten des Energie-Impuls-Vierervektors des Systems. Die Norm dieses Vierervektors ist (bis auf einen konstanten Faktor c) durch die Masse $m$ des Systems bestimmt:

$mc=\sqrt{\left(\tfrac{E}{c}\right)^{2}-p^{2}}$

Im Schwerpunktsystem ($\vec p = 0$) ergibt sich für die Energie wieder $E=mc^{2}$, auch oft als Ruheenergie $E_0$ bezeichnet.

Von einem anderen Bezugssystem aus betrachtet hat dasselbe System andere Werte für die vier Komponenten, die man durch Umrechnung mit der Lorentztransformation erhält. Bewegt sich das System beispielsweise mit Geschwindigkeit $\vec v$ gegen das Schwerpunktsystem, ergibt sich für die relativistische Gesamtenergie und den Impuls:

$E=\gamma mc^{2},\quad\vec{p}=\gamma m\vec{v},\quad\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$.

Dabei bleibt die Norm des Vierervektors $(E/c,\vec p)$ erhalten (siehe oben), die Masse $m$ ist also eine Lorentzinvariante, früher als Ruhemasse bezeichnet.

Wenn man die Gleichung $E=\gamma mc^{2}$ in eine Taylor-Reihe um den Punkt $v=0$ entwickelt, erhält man:

$E=mc^2 + mc^2 \cdot \frac{v^2}{2c^2} + mc^2 \cdot \frac{3v^4}{8c^4} +...$

Das „nullte“ Glied dieser Reihe ist wieder die Ruheenergie eines Körpers der Masse $m$: $E_0 = mc^2$. Das nächste Glied ergibt nach Kürzen mit $c^2$ die klassische kinetische Energie. Alle höheren Glieder können im nichtrelativistischen Fall (d. h. $v \ll c$) vernachlässigt werden. Es folgt dann:

$E_{\mathrm{kin}} = E - E_0 \approx \frac {1}{2} mv^2$

Bei sehr großen Geschwindigkeiten können die höheren Glieder nicht mehr vernachlässigt werden. Sie repräsentieren dann das überproportionale Anwachsen der kinetischen Energie für relativistische Geschwindigkeiten.

Gravitation

Einstein erweiterte 1907 seine Überlegungen auch auf die Gravitation. Das Äquivalenzprinzip, also die Gleichheit von träger und schwerer Masse, führte ihn zur Schlussfolgerung, dass eine Zunahme der Ruheenergie eines Systems auch eine Zunahme der schweren Masse zur Folge hat. Bei der Weiterführung dieses Gedankens im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie ergab sich, dass der Energie-Impuls-Tensor als Quelle des Gravitationsfeldes anzusehen ist.

Ein Beispiel ist der Gravitationskollaps. Wenn im Innern eines Sterns die nukleare Wärmeerzeugung erlischt, konzentriert sich seine Materie auf so kleinem Raum, dass bei ausreichend großer Gesamtmasse das immer stärker werdende Gravitationsfeld selber durch seine Feldenergie zur weiteren Anziehung und Kontraktion beiträgt. Die Folge ist ein Schwarzes Loch.

Relativistische Masse

In älteren Lehrbüchern wird die Äquivalenzformel $E=mc^2$ oft nicht nur auf die Ruheenergie $E_{0}$ und die invariante Masse, sondern auch auf die relativistische Gesamtenergie $E=\gamma mc^{2}$ und folglich eine sog. relativistische oder dynamische Masse bezogen:

$E=m_{\mathrm{rel}}c^{2},\quad m_{\mathrm{rel}}=\gamma m=m+\frac{E_{\mathrm{kin}}}{c^2}.$

Gemäß dieser Schreibweise sind Energie und (relativistische) Masse unter allen Umständen äquivalent. Diese Interpretation der Masse ist aber fragwürdig (siehe den Abschnitt zur sog. relativistischen Masse), und Einstein selbst lehnte sie ab. In vielen modernen Lehrbüchern wird daher das Konzept der relativistischen Masse als unzweckmäßig zurückgewiesen. Stattdessen solle die Äquivalenzbeziehung ausschließlich im Zusammenhang mit der Ruheenergie $E_{0}=mc^{2}$ benutzt werden.

Geschichte

Überblick

→ Hauptartikel: Geschichte der speziellen Relativitätstheorie

Der Zusammenhang zwischen Masse, Energie, und Lichtgeschwindigkeit wurde bereits ab 1880 von unterschiedlichen Autoren im Rahmen von Maxwells Elektrodynamik bedacht. Joseph John Thomson (1881), George Searle (1897), Wilhelm Wien (1900), Max Abraham (1902) und Hendrik Lorentz (1904) erschlossen, dass die elektromagnetische Energie dem Körper eine „elektromagnetische Masse" hinzufügt gemäß der Formel (in moderner Notation)

$m_{\text{em}} = \frac{4}{3} \frac{E_{\text{em}}}{c^2}$.

Zu derselben Formel gelangte Friedrich Hasenöhrl (1904/5) durch Betrachtung der elektromagnetischen Hohlraumstrahlung eines Körpers, wobei er auch die Abhängigkeit der Masse von der Temperatur feststellte. Henri Poincaré (1900) hingegen folgerte aus Betrachtungen zum Reaktionsprinzip, dass elektromagnetische Energie einer „fiktiven“ Masse von

$m_{\text{em}} = \frac{E_{\text{em}}}{c^2}$

entspricht. Die elektromagnetische Masse wurde häufig auch als „scheinbare“ Masse bezeichnet, da man diese vorerst von der „wahren“, mechanischen Masse Newtons unterschied.

Aber erst Albert Einstein (1905) war es dann, der die gesamte Ruheenergie durch

$E_{\text{Ruhe}} = m\,c^2$

mit der gesamten Masse in eine Beziehung setzte, die in eine umfassende Theorie, die spezielle Relativitätstheorie, eingebettet war. Dabei ergab sich, dass alle vorhergehenden Spekulationen über die elektromagnetische Natur der Masse in eine falsche Richtung wiesen, denn in der speziellen Relativitätstheorie gilt ausnahmslos die Äquivalenz von Masse und Ruheenergie, unabhängig davon, ob die Masse elektromagnetischen Ursprungs ist oder nicht.

Diese Äquivalenz wurde ursprünglich auch „Trägheit der Energie“ genannt, da man jeder Form von Energie eine träge Masse $E/c^2\,,$ die relativistische Masse, zuschrieb. Solch ein Wortgebrauch ist jedoch, wie im Artikel relativistische Masse erläutert, irreführend, denn die Trägheit eines schnell bewegten Teilchens hängt von seiner Bewegungsrichtung ab.

Die quantitative Übereinstimmung von Kernmassenunterschieden und Bindungsenergien konnte ab den 1930er Jahren gemessen werden. Heute ist die Gültigkeit der Äquivalenz von Masse und Energie experimentell mit einer Genauigkeit von etwa einem Zehnmillonstel bestätigt:

$\left|\frac{m\,c^2}{E_{\text{Ruhe}}}-1\right| \le (1{,}4 \pm 4{,}4) \cdot 10^{-7}$

Zeittafel

• 1905: Einstein leitete aus dem Relativitätsprinzip und der Elektrodynamik ab, dass während der Emission von Strahlung die Masse eines Körpers um $L/V^2$ abnimmt, wo L die Energie und V die Lichtgeschwindigkeit ist. Einstein folgerte, dass die Masse eines Körper ein Maß für seinen Energieinhalt ist.
• 1906: Einstein zeigt, dass eine Änderung der Energie $\Delta E$ eines Systems ebenfalls eine Änderung der Masse um $\Delta E/V^{2}$ zur Folge haben muss, damit die Schwerpunktsbewegung gleichförmig bleibt. Er verweist dabei auf Poincaré, der 1900 einen ähnlichen Schluss zog.
• Mai 1907: Einstein erklärt, dass der Ausdruck für die Energie $\varepsilon$ eines bewegten Massenpunkts die einfachste Form annimmt, wenn für dessen Energie im ruhenden Zustand der Ausdruck $\varepsilon_{0}=\mu V^{2}$ gewählt wird (wo $\mu$ die Masse ist), was dem "Prinzip der Äquivalenz von Masse und Energie" entspricht. Zusätzlich verwendete Einstein die Formel $\mu=E_{0}/V^{2}$ (wo $E_0$ die Energie eines Massensystems ist) um die Massenzunahme dieses Systems zu beschreiben, wenn darin die Geschwindigkeit unterschiedlich bewegter Massenpunkte erhöht wird.
• Juni 1907: Max Planck bringt thermodynamische Überlegungen und das Prinzip der kleinsten Wirkung ein, und benutzte die Formel $M=\left(E_{0}+pV_{0}\right)/c^{2}$ (wo p der Druck und V das Volumen ist), um den Zusammenhang zwischen Masse, ihrer "latenten Energie", und thermodynamischer Energie in den Körpern darzustellen. Dem folgend benutzte Johannes Stark im Oktober die Formel $M_{0}=E_{0}/c^{2}$ und wendete sie im Zusammenhang mit der Quantentheorie an.
• Dezember 1907: Einstein benutzte die Formel $M=\mu+E_{0}/c^{2}$ und schloss: Eine Masse $\mu$ ist in bezug auf Trägheit äquivalent mit einem Energieinhalt von der Größe $\mu c^{2}$. [..] Weit natürlicher erscheint es, jegliche träge Masse als einen Vorrat von Energie aufzufassen.
• 1909: Gilbert N. Lewis und Richard C. Tolman benutzten zwei Variationen der Formel: $m=E/c^{2}$ und $m_{0}=E_{0}/c^{2}$, wo $E$ die Energie eines bewegten Körpers, $E_0$ die Ruheenergie, m die relativistische Masse, und $m_0$ die invariante Masse ist. Analoge Ausdrücke wurden 1913 auch von Hendrik Antoon Lorentz benutzt, wobei er allerdings die Energie auf der linken Seite anschrieb: $\varepsilon = Mc^2$ und $\varepsilon_{0} = mc^2$, wo $\varepsilon$ die Energie eines bewegten Massenpunktes, $\varepsilon_{0}$ die Ruheenergie, M die relativistische Masse, und m die invariante Masse ist.
• Für eine weitergehende Begründung der Äquivalenzbeziehung wurde schließlich der Zusammenhang zum Energie-Impuls-Tensor herausgearbeitet. Erstmals wurde dies von Max von Laue (1911) durchgeführt. Er beschränkte allerdings seine Untersuchung auf "statische geschlossene Systeme", in dem sich beispielsweise elektromagnetische Kräfte und mechanische Spannungen im Gleichgewicht halten.. Felix Klein konnte 1918 diesen Beweis verallgemeinern, wobei die Beschränkung auf statische Systeme nicht mehr notwendig war.
• 1932 gelingt die Cockroft und Walton die erste direkte experimentelle Demonstration eines Gewinns von $17 \mathrm{MeV}$ kinetischer Energie bei entsprechender Abnahme der Masse bei der Kernreaktion $^7Li+p\rightarrow 2\alpha + 17 \mathrm{MeV}$
• 1933 wird das Positron entdeckt, das Antiteilchen zum Elektron. Beide können nur als Paar erzeugt werden und brauchen dazu die Energie $E = (m_{Elektron}+m_{Positron}) c^2$, die sie bei ihrer gemeinsamen Vernichtung als Vernichtungsstrahlung wieder aussenden. Beide Prozesse werden zunächst nicht als Umwandlung zwischen Energie und Masse interpretiert, sondern als Anregung eines vorhandenen, vorher im Dirac-See verborgenen Elektrons in die sichtbare Welt, wobei das im Dirac-See entstehende Loch als Positron erscheint.
• 1935 gibt Einstein eine neue Herleitung von $\Delta E = \Delta m c^2$ allein aus der Impulserhaltung beim Stoß und ohne Bezug auf elektromagnetische Strahlung. Indem er sich darauf beruft, dass bei Energie, vom Konzept des Begriffs her, der Nullpunkt beliebig sei, wählt er ihn so, dass $E = m c^2$.
• 1965 zeigen Roger Penrose und Mitarbeiter, dass die Spezielle Relativitätstheorie mit einer Gleichung $E + m' c^2 = m c^2$ verträglich ist, wobei $m'>0$ für den (lorentzinvarianten) Teil der Masse steht, der nicht durch Energieentzug unterschritten werden kann. Aufgrund der Beobachtungen zu Teilchenentstehung und -vernichtung setzen sie $m'=0$.

Einsteins Herleitung

Einstein kam 1905 durch das folgende Gedankenexperiment auf den Zusammenhang von Masse und Energie. Ein ähnliches Gedankenexperiment hatte Poincaré 1900 entwickelt, aber nicht befriedigend klären können.

Ein ruhender Körper mit Energie $E_{vor}$ sendet zwei gleiche Lichtblitze gleicher Energie $\frac12 E_{ph}$ in entgegengesetzte Richtung aus. Dann sind auch die Impulse $\frac12 \tfrac{E_{ph}}{c}$ der Lichtblitze gleich groß, aber entgegengesetzt, so dass der Körper wegen der Erhaltung des Gesamtimpulses in Ruhe bleibt. Wegen der Erhaltung der Energie hat der ruhende Körper nun die Energie

$E_{nach} = E_{vor} - E_{ph}$.

Von einem Bezugssystem, das sich mit Geschwindigkeit $-v$ in der Emissionsrichtung eines der Lichtblitze bewegt, wird der Vorgang so beschrieben: Der Körper bewegt sich mit Geschwindigkeit $v$ und hat die die Energie $E'_{vor}$. Er sendet parallel und antiparallel zu seiner Bewegungsrichtung zwei Lichtblitze aus und bewegt sich mit derselben Geschwindigkeit weiter. Von den beiden Lichtblitzen zeigt nun einer eine Rotverschiebung, der andere eine Blauverschiebung. Sie haben nach der Lorentztransformation die unterschiedlichen Energien $\frac12 E_{ph} \frac{1 \pm \beta}{\sqrt{1-\beta^2}}$, wobei $\beta = \tfrac{v}{c}$. Wegen der Energieerhaltung ist im bewegten Bezugssystem

$E'_{nach}=E'_{vor}- \frac12 E_{ph}\left(\frac{1 + \beta}{\sqrt{1-\beta^2}} + \frac{1 - \beta}{\sqrt{1-\beta^2}} \right)$.

Nun ist $E'_{vor} - E_{vor} = E_{kin,vor}$ für den Körper vor der Emission einfach die kinetische Energie, die er aufgrund der Bewegung mit Geschwindigkeit $v$ hat, und entsprechend $E'_{nach} - E_{nach} = E_{kin,nach}$ für den Körper nach der Emission. Der entscheidende Punkt ist nun: Die beiden Werte für die kinetische Energie sind nicht gleich. Sie unterscheiden sich um

$E_{kin,nach}=E_{kin,vor}-\frac12 E_{ph}\left(\frac{1 + \beta}{\sqrt{1-\beta^2}} + \frac{1 - \beta}{\sqrt{1-\beta^2}} - 2 \right)$.

Wenn trotz gleicher Geschwindigkeit der Körper nach der Emission eine andere kinetische Energie hat als vor der Emission, muss sich seine Masse geändert haben. Um diese Änderung zu ermitteln, wird die letzte Formel nach Potenzen von $\beta$ entwickelt, um die im Grenzfall $\beta \ll 1$ gültige Formel $E_{kin}= \frac12 m v^2 \equiv \frac12 mc^2 \beta^2$ zu nutzen. Es ergibt sich $E_{kin,nach}=E_{kin,vor}-\frac12 \frac{E_{ph}}{c^2} v^2$. Also führt die Abgabe der Energie $E_{ph}$ zu einer Verringerung der Masse um $\Delta m = \frac{ E_{ph}}{c^2}$.

Einstein schließt diese Überlegung mit den Worten ab:

"Gibt ein Körper die Energie $E$ in Form von Strahlung ab, so verkleinert sich seine Masse um $E/c^2$ . [...] Es ist nicht ausgeschlossen, dass bei Körpern, deren Energie in hohem Maße veränderlich ist (z.B. bei den Radiumsalzen), eine Prüfung der Theorie gelingen wird."

Genau dies geschah um 1920 mit der Entdeckung des Massendefekts bei den Atomkernen. Einsteins Überlegung zeigt noch nicht direkt, dass die gesamte Masse $m$ eines Körpers als dessen Ruheenergie $mc^2$ anzusprechen ist. Er nahm vorsichtig an, die Energieskalen im bewegten und ruhenden System könnten sich durch eine additive Konstante unterscheiden. Diese Konstante fällt bei der Bildung der Differenzenergie heraus.

Der volle Zusammenhang zwischen Masse, Energie und Impuls ergibt sich aus dem Transformationsverhalten des Viererimpulses.

E = mc² und die Atombombe

Bei ionisierender Strahlung hatten Henri Becquerel, Marie und Pierre Curie und Ernest Rutherford ab 1897 beobachtet, dass Kernreaktionen millionenfach energiereicher sind als chemische Reaktionen. Als Energiequelle wurde von Rutherford und Frederick Soddy (1903) ein in den Körpern befindliches, enormes Reservoir an latenter Energie vermutet, welches auch in normaler Materie vorhanden sein müsse. Rutherford (1904) spekulierte, dass man vielleicht eines Tages den Zerfall radioaktiver Elemente kontrollieren und aus einer geringen Menge Materie eine enorme Energiemenge freisetzen könnte. Mit Einsteins Gleichung $E_{\text{Ruhe}}=m\,c^2$ (1905) konnte man diese Energie an den unterschiedlichen Kernmassen ablesen, was in den 1930er Jahren tatsächlich nachgewiesen werden konnte.

Allerdings besagt die Gleichung nicht, wie man die Spaltung schwerer Atomkerne in Gang setzt. Entscheidend war die Beobachtung der induzierten Kernspaltung durch Otto Hahn und Fritz Straßmann und dass die dabei freiwerdenden Neutronen eine Kettenreaktion in angereichertem Uran auslösen können. Anders als populärwissenschaftliche Berichte behaupten, spielte daher der Zusammenhang von Ruheenergie und Masse bei der Entwicklung der Atombombe („Manhattan-Projekt“) in den USA ab 1942 keine besondere Rolle. Albert Einstein beeinflusste die Entwicklung der Atombombe weniger durch seine physikalischen Erkenntnisse, sondern allenfalls politisch, nämlich durch seinen Brief an Präsident Roosevelt, in dem er für die Entwicklung der Atombombe durch die Amerikaner eintrat.

Trivia

• 1980 erschien das Lied "E=mc²" von Giorgio Moroder.
• 1985 erschien das Lied "E=mc²" von Big Audio Dynamite auf dem Album "This Is Big Audio Dynamite".
• 2008 erschien das Album "E=mc²" von Mariah Carey.
• 2008 erschien das Lied "E=mc²" von Ayreon auf dem Album "01011001".

Siehe auch

• Tests der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung
• Photonenwaage

Weblinks

 Commons: Einstein-Formel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Norbert Dragon, Geometrie der Relativitätstheorie (PDF; 2,5 MB)
• Francisco Fernflores: The Equivalence of Mass and Energy. In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy
• Cornelius C. Noack, Was ist eigentlich eine 'Ruhemasse'? (PDF; 279 kB)
• Wikibooks: Ruhemasse und relativistische Masse
• E=mc² – Eine Formel und ihre Geschichte. Allgemeinzugängliche Erklärung der Formel mit Grafiken