Äquivalenz von Masse und Energie

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“Relativitätstheorie“, sechste und letzte Skulptur beim Berliner Walk of Ideas zur FIFA Fußball-Weltmeisterschaft Deutschland 2006
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Die Äquivalenz von Masse und Energie ist die Erkenntnis der relativistischen Physik, dass die Energie ERuhe jedes ruhenden Teilchens durch seine Masse m festgelegt ist. Die Ruheenergie ist doppelt so groß wie in der Newton'schen Mechanik die kinetische Energie des Teilchens wäre, wenn es sich mit Lichtgeschwindigkeit c bewegte:

E_{\text{Ruhe}}=m\, c^2\,.

Die an der Masse ablesbare Ruheenergie ist daher vergleichsweise viele Größenordnungen größer als alltäglich auftretende kinetische Energien. Wenn nicht andere Erhaltungssätze (wie zum Beispiel Ladungserhaltung und Baryonzahlerhaltung) es verhindern, können Teilchen in andere Teilchen mit geringeren Massen übergehen und die dabei freiwerdende Ruheenergie in andere Energieformen (zum Beispiel Strahlung und kinetische Energie anderer Teilchen) umgewandelt werden.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Erläuterung

Lasch gesprochen sind in der relativistischen Physik Masse und Energie äquivalent. Dennoch sind Masse und Energie physikalisch unterschiedliche Größen:

  • Die Energie E(\mathbf{v}) eines Teilchens, das sich mit Geschwindigkeit \mathbf{v}, |\mathbf{v}|<c, bewegt, ist eine Funktion der Geschwindigkeit
\ E(\mathbf{v})= \frac{m\,c^2}{\sqrt{1-\frac{\mathbf{v}^2}{c^2}}}\
und bezeichnet eine Erhaltungsgröße. In Stößen und anderen Teilchenreaktionen stimmt die Summe der anfänglichen Energien mit der Summe der späteren Energien überein.
  • Die hier auftretende Masse m hat einen festen, für das Teilchen charakteristischen Wert. Unabhängig von der Geschwindigkeit des Teilchens hängen seine Energie und sein Impuls stets durch die Energie-Impuls-Beziehung (siehe unten) mit der Masse zusammen.

Ändert sich im Kernzerfall das Teilchen, so ist die Masse anfänglich größer als die Summe der Massen der Tochterteilchen. Die anfängliche Energie stimmt hingegen mit der Summe der Energien der Zerfallsprodukte überein.

Für kleine Geschwindigkeiten, wie sie alltäglich auftreten, ist die Energie näherungsweise

E_{\text{Newton}}= m\,c^2 + \frac{1}{2}\,m \,\mathbf{v}^2

wie in Newtons Mechanik. Allerdings hat dort die Energie eines ruhenden Teilchens keinen Zusammenhang zu seiner Masse, Zerfälle von schweren Teilchen in leichte sind in nichtrelativistischer Physik genauso denkbar wie umgekehrt.

Die relativistische Physik legt den Wert der Energie des ruhenden Teilchens fest. Da die Lichtgeschwindigkeit um viele Größenordnungen größer ist als in unserer alltäglichen Umgebung die Geschwindigkeit anderer Körper, ist die Ruheenergie um viele Größenordnungen größer als kinetische Energie in alltäglichen Situationen. Zwar läßt die in Wärme umgewandelte kinetische Energie eine Raumkapsel bei der Rückkehr verglühen, wenn sie nicht abgeschirmt wird, dabei ist die kinetische Energie nur ein winziger Bruchteil, ein Milliardstel, der Ruheenergie,

(v/c)^2\approx \bigl((10 \text{ km/s}) / (300\, 000 \text{ km/s})\bigr)^2 \approx 10^{-9}\,.

Die Newton'sche Näherung ist bei höheren Geschwindigkeiten messbar falsch: nur die Summe der relativistischen Energien aller einlaufenden Teilchen stimmt bei Stößen und anderen Teilchenreaktionen mit der Summe der relativistischen Energien der auslaufenden Teilchen überein.

[Bearbeiten] Massenschale

Da der Impuls eines Teilchens der Masse m, das sich mit Geschwindigkeit \mathbf{v} bewegt, in relativistischer Physik

\mathbf{p}(\mathbf{v})=\frac{m\,\mathbf{v}}{\sqrt{1-\frac{\mathbf{v}^2}{c^2}}}

beträgt (Herleitung siehe unten), hängen die Energie und der Impuls mit der Masse durch die Energie-Impuls-Beziehung

E^2-\mathbf{p}^2\,c^2 = m^2\,c^4

zusammen. Im vierdimensionalen Raum aller denkbaren Energie- und Impulswerte liegen gemäß dieser Gleichung die physikalisch möglichen Energien eines Teilchens der Masse m auf einer dreidimensionalen Fläche, der sogenannten Massenschale. Sie ist ein Hyperboloid (y2 − x2 = 1 beschreibt eine Hyperbel in der x-y-Ebene.)

Die Energie-Impuls-Beziehung gilt auch für Photonen. Sie sind masselos und bewegen sich stets mit Lichtgeschwindigkeit. Ihre Energie und ihr Impuls sind nicht durch die Formeln für massive Teilchen der Geschwindigkeit \mathbf{v} gegeben. Die Energie eines Photons ist bis auf einen Faktor c der Betrag seines Impulses, seine Masse hingegen verschwindet,

E_{\text{Photon}}= c\,|\mathbf{p}_{\text{Photon}}|\,,\,m_{\text{Photon}}=0\,.

[Bearbeiten] Geschichte

Der Zusammenhang zwischen Masse, Energie, und Lichtgeschwindigkeit wurde bereits ab 1880 in Arbeiten zur "elektromagnetischen Masse" als Konsequenz der maxwellschen Elektrodynamik von unterschiedlichen Autoren bedacht - so z. B. von Joseph John Thomson (1881), Oliver Heaviside (1889), George Frederick Charles Searle (1897), Henri Poincaré (1900), Wilhelm Wien (1900), Max Abraham (1902), Hendrik Antoon Lorentz (1904), Friedrich Hasenöhrl (1904). Die dabei angegebenen Formeln m = (4 / 3)E / c2 oder auch m = E / c2 hatten bereits eine sehr ähnliche und zum Teil identische Form, wie sie auch Einstein verwendete. Einstein war allerdings der erste, der die Formel E = m\,c^2 in eine umfassende Theorie, die Speziellen Relativitätstheorie, einbetten konnte. Erst dies begründete ihre ausnahmslose Gültigkeit. [1][2][3]

Siehe: Lorentzsche Äthertheorie#Masse, Energie und Geschwindigkeit
Siehe: Geschichte der speziellen Relativitätstheorie

[Bearbeiten] E=mc² und die Atombombe

Bei der Entwicklung der Atombombe Anfang der 1940er Jahre spielte die Gleichung E=m\,c^2 keine besondere Rolle. Aus ihr folgt zwar, wie bereits ab 1897 bei radioaktiver Strahlung durch Antoine Henri Becquerel, Marie und Pierre Curie, und Ernest Rutherford beobachtet, daß bei Spaltung schwerer Atomkerne sehr viel mehr Energie frei wird als bei der Explosion von Sprengstoff, nicht aber, wie man diese Spaltung in Gang setzt.

Entscheidend war die Beobachtung der induzierten Kernspaltung durch Otto Hahn und Fritz Straßmann und daß die dabei freiwerdenden Neutronen eine Kettenreaktion in angereichertem Uran in Gang setzen können.[4] [5]

Albert Einstein beeinflußte die Entwicklung der Atombombe weniger durch seine physikalischen Erkenntnisse, sondern politisch, nämlich durch seinen Brief an Präsident Roosevelt, in dem er für die Entwicklung der Atombombe durch die Amerikaner eintrat.

[Bearbeiten] Einsteins Herleitung

Einstein kam 1905 [6] durch das folgende Gedankenexperiment auf den Zusammenhang von Masse und Energie - wobei ein ähnliches Gedankenexperiment 1900 durch Poincaré besprochen wurde, von diesem aber nicht befriedigend gelöst werden konnte. Einstein gelangte durch die Lösung dieses Paradoxons zur Äquivalenz von Masse und Energie (ursprünglich auch als Trägheit der Energie bezeichnet).[7]

Aus der Elektrodynamik war bekannt, daß ein Lichtpuls nicht nur Energie besitzt, sondern auch Impuls \mathbf p in Richtung des Lichtstrahls, wobei zwischen der Energie E und dem Betrag des Impulses der Zusammenhang

E= p\,c

besteht. Um die folgenden Überlegungen einfach zu halten, setzen wir c=1\,. Das heißt, wir benutzen als Längeneinheit die Strecke, die Licht in einer Sekunde zurücklegt und nennen diese Länge eine Sekunde. Ein Photon der Energie E hat dann einen Impuls mit Betrag E.

Wenn nun ein ruhender Körper mit Energie \mathcal{E} und der Masse m zwei Photonen mit Energie E in entgegengesetzte Richtung ausstrahlt, so vermindert sich wegen der Erhaltung von Energie und Impuls seine Energie um 2E, er bleibt aber in Ruhe und sein Impuls verschwindet auch nachher, weil die Impulse der Photonen entgegengesetzt gleich sind. Fassen wir die beteiligten Energien und Impulse übersichtich in Spalten zusammen, so lautet die Energie-Impulsbilanz vor und nach dem Abstrahlen der Photonen

\begin{pmatrix} \mathcal{E}\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathcal{E}-2E\\0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} E\\E \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} E\\-E \end{pmatrix}\,.

Aus der Sicht eines (in Richtung der Photonen) bewegten Beobachters bewegt sich der Körper vor und nach dem Abstrahlen der Photonen mit einer Geschwindigkeit v. Vor dem Abstrahlen hat er die Energie \mathcal{E}+\frac{1}{2}\,m\,v^2 (die Summe von Ruheenergie und kinetischer Energie) und einen Impuls p = mv, zumindest wenn die Geschwindigkeit v so klein gegen die Lichtgeschwindigkeit ist, daß Newtons Mechanik zutrifft.

Das Photon, das er mit dem Körper auf sich zukommen sieht, sieht er blauverschoben mit einer um den Dopplerfaktor 1 + v vergrößerten Energie und entsprechend vergrößertem Impuls.

Das Photon in Gegenrichtung ist für ihn rotverschoben und hat eine um den Dopplerfaktor 1 − v verminderte Energie und entsprechend verkleinerten Betrag des Impulses. (Diese Formeln gelten wie Newtons Mechanik für kleine Geschwindigkeiten). Die Energie-Impuls-Bilanz für ein langsam bewegtes Teilchen vor und nach den Aussenden der Photonen lautet also

\begin{pmatrix} \mathcal{E}+\frac{1}{2}\,m\,v^2\\ m\, v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathcal{E}^\prime+\frac{1}{2}\,m^\prime\,v^2\\ m^\prime v \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} (1+v)E\\(1+v)E \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} (1-v)E\\-(1-v)E \end{pmatrix}\,.

Dabei bezeichnet m^\prime die Masse und \mathcal{E}^\prime+\frac{1}{2}\,m^\prime\,v^2 die Energie des Körpers nach dem Abstrahlen. Die erste Zeile dieser Gleichung, die Energie-Erhaltung, besagt, wenn wir Terme vernachlässigen, die quadratisch in der Geschwindigkeit sind,

\mathcal{E}^\prime -\mathcal{E} = - 2 E\,,

dass sich die Ruheenergie des Körpers beim Abstrahlen um 2E vermindert hat. In der zweiten Zeile besagt Impulserhaltung m\,v = m^\prime\, v + 2\, v\, E\,, daß sich die Masse ebenso vermindert hat,

m^\prime - m = - 2 E = \mathcal{E}^\prime -\mathcal{E}\,.

Da sich (bis auf die einfachheitshalber weggelassenen Faktoren c) die Masse so wie die Ruheenergie ändert, ist sie die Ruheenergie

E_{\text{Ruhe}}= m\,c^2\,.

So schön Einsteins Gedankenexperiment ist, die Folgerung ist nicht zwingend: Kein stabiles Teilchen, kein Elektron, Proton oder Neutron, kann in Ruhe Photonen abstrahlen. Das ist physikalisch nur möglich, wenn man auf das Teilchen die dazu erforderliche Energie und den erforderlichen Impuls überträgt.

Es gibt aber auch einen logischen Einwand. Einsteins Überlegung zeigt nur, daß die Differenzen von Masse und Energie bis auf den Faktor c2 gleich sind. Das wäre auch der Fall, wenn zur Ruheenergie ein masseunabhängiger, für jedes Teilchen charakteristischer Beitrag hinzukäme

E_{\text{Ruhe}}= m\,c^2 + E_{\text{Ruhe}, m=0}\,.

[Bearbeiten] Herleitung der Energie-Impuls-Beziehung

Wie die Energie und der Impuls eines Teilchens der Masse m von seiner Geschwindigkeit \mathbf v\,,\ |\mathbf v|<c\,, abhängen, ergibt sich in der Relativitätstheorie daraus, daß Energie und Impuls für jeden Beobachter additive Erhaltungsgrößen sind.

Wir bezeichnen sie zusammenfassend mit p. Wenn einem Teilchen eine additive Erhaltungsgröße p1 zukommt und einem anderen Teilchen die Erhaltungsgröße p2, dann kommt dem System beider Teilchen die Erhaltungsgröße p = p1 + p2 zu.

Auch ein bewegter Beobachter stellt bei beiden Teilchen Erhaltungsgrößen p^\prime_1 und p^\prime_2 fest, allerdings haben sie nicht unbedingt dieselben, sondern transformierte Werte. Es muß aber gelten, daß die Summe dieser Werte das Transformierte der Summe ist,

(p_1+p_2)^\prime=p_1^\prime + p_2^\prime\,.

Ebenso kommt (für alle Zahlen a) einem verviefachten System mit Erhaltungsgröße a\,p für den bewegten Beobachter die vervielfachte Erhaltungsgröße

(a\,p)^\prime=a\,p^\prime

zu. Das besagt mathematisch, daß die Erhaltungsgrößen, die ein bewegter Beobachter mißt, durch eine lineare Transformation

p^\prime = L p

mit den Erhaltungsgrößen des ruhenden Beobachters zusammenhängen.

Die lineare Transformation L ist dadurch eingeschränkt, daß solch eine Gleichung für jedes Paar von Beobachtern gelten muß, wobei die Bezugssysteme der Beobachter durch Lorentztransformationen Λ und Verschiebungen auseinander hervorgehen. Hängen die Bezugssysteme vom ersten und zweiten Beboachter durch Λ1 und vom zweiten zu einem dritten durch Λ2 zusammen, dann hängt das Bezugssystem vom ersten mit dem dritten durch \Lambda_2\circ\Lambda_1 zusammen. Genauso müssen die zugehörigen Transformationen der Erhaltungsgrößen

L(\Lambda_2)\circ L(\Lambda_1)= L(\Lambda_2\circ \Lambda_1)

erfüllen.

Im einfachsten Fall ist L(Λ) = Λ. Da Lorentztransformationen 4\times 4-Matrizen sind, betrifft also das einfachste, nichttriviale Transformationsgesetz, (bei dem nicht einfach p^\prime=p gilt), vier Erhaltungsgrößen p, die wie die Raumzeitkoordinaten, als Vierervektor, transformieren.

Insbesondere ändert sich ein ruhendes Teilchen nicht bei Drehungen. Daher ändern sich auch nicht diejenigen Komponenten seiner Erhaltungsgrößen p, die wie ein dreidimensionaler Ortsvektor bei Drehungen in einen gedrehten Vektor übergehen. Der einzige solche Vektor ist aber der Nullvektor. Also haben die vier Erhaltungsgrößen p eines ruhenden Teilchen einen Wert

\begin{pmatrix} m \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\,.

Die Bezeichnung m ist im Vorgriff auf das spätere Ergebnis gewählt, steht hier aber zunächst für irgend einen Wert.

Für einen in x-Richtung bewegten Beobachter hat das Teilchen eine Geschwindigkeit v und einen Lorentztransformierten Viererimpuls (wir rechnen einfachheitshalber in Maßsystemen mit c = 1)

\begin{pmatrix} \frac{m}{\sqrt{1-v^2}} \\\frac{m\,v}{\sqrt{1-v^2}} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{1-v^2}} & \frac{v}{\sqrt{1-v^2}} & &\\ \frac{v}{\sqrt{1-v^2}} & \frac{1}{\sqrt{1-v^2}} & &\\ & & 1 &\\ & & & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

Entwickelt man die vier Erhaltungsgrößen nach der Geschwindigkeit

\begin{pmatrix} \frac{m}{\sqrt{1-v^2}} \\\frac{m\,v}{\sqrt{1-v^2}} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m + \frac{1}{2}\,m v^2 + \dots\\ m\,v + \dots \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

und vergleicht man mit Newtons Mechanik, so enthüllt sich die Bedeutung der vier Größen, von denen wir bisher nur ihr Transformationsverhalten verwendet haben: die erste Komponente ist die Energie, die drei räumlichen Komponenten sind der Impuls, der Parameter m ist die Masse. Sie muß allen Beobachtungen nach positiv sein.

Die Energie ist, wenn wir die konventionellen Faktoren c einfügen,

E(\mathbf{v})= \frac{m\,c^2}{\sqrt{1-\frac{\mathbf v^2}{c^2}}}\,.

Sie ist nach unten beschränkt und in Ruhe minimal

E_{\text{Ruhe}}= m\,c^2\,.

Der Impuls ist

\mathbf{p}(\mathbf{v})= \frac{m\,\mathbf v}{\sqrt{1-\frac{\mathbf v^2}{c^2}}}\,.

Unabhängig von der Geschwindigkeit hängen Energie und Impuls durch die Energie-Impuls-Beziehung mit der Masse zusammen

E^2 - \mathbf p^2\,c^2= m^2\,c^4\,.

Andere Erhaltungsgrößen, der Drehimpuls und der anfängliche Energieschwerpunkt, transformieren unter einer sechsdimensionalen Darstellung L(Λ) der Lorentztransformationen.

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Weblinks

[Bearbeiten] Quellen

  1. ↑ Born, M.: Die Relativitätstheorie Einsteins. Springer, Berlin-Heidelberg-New York 1964/2003, ISBN 3-540-00470-x.
  2. ↑ Whittaker, E.T.: 2. Edition: A History of the theories of aether and electricity, vol. 1: The classical theories / vol. 2: The modern theories 1900-1926. Nelson, London 1951-1953.
  3. ↑ Jannsen, M., Mecklenburg, M.: From classical to relativistic mechanics: Electromagnetic models of the electron. In: V. F. Hendricks, et.al. (Hrsg.): Interactions: Mathematics, Physics and Philosophy. Springer, Dordrecht 2007, S. 65–134.
  4. ↑ Markus Pössel, Albert-Einstein-Institut: Von E=mc² zur Atombombe und Ist das Ganze die Summe seiner Teile?
  5. ↑ Heisenberg, W.: Physics And Philosophy: The Revolution In Modern Science. Harper & Brothers, New York 1958, S. 118-119.
  6. ↑ Einstein, A.: Ist die Trägheit eines Körpers von dessen Energieinhalt abhängig?. In: Annalen der Physik. 18, 1905, S. 639-643.
  7. ↑ Darrigol, O.: The Genesis of the theory of relativity. In: Séminaire Poincaré. 1, 2005, S. 1-22.

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