Äußeres Maß

Äußeres Maß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie, der 1914 von Constantin Carathéodory eingeführt wurde. Ein äußeres Maß $\nu$ ist eine Mengenfunktion von der Potenzmenge einer Menge $X$ in das Intervall $[0, \infty]$, welche folgende Axiome erfüllt:

• $\nu(\emptyset) = 0$
• $A \subseteq B \Rightarrow \nu(A) \leq \nu(B)$ „Monotonie“
• $\nu(\bigcup_{i = 1}^{\infty} A_i) \leq \sum_{i = 1}^{\infty} \nu(A_i)$ „$\sigma$-Subadditivität“

Der Name äußeres Maß lehnt sich an die Begriffe inneres und äußeres Maß an, die von Borel und Lebesgue benutzt wurden. Die Theorie von Carathéodory benutzt kein inneres Maß und vereinfacht die grundlegenden Beweise beträchtlich.

Konstruktion eines Äußeren Maßes

Sei $S \subseteq\mathcal P (X)$ beliebiges Mengensystem mit $\emptyset \in S$ und $\mu: S\rightarrow [0,+\infty]$ eine Abbildung mit $\mu(\emptyset)=0$. Setzt man für alle $A\subseteq X$ :

$\nu(A):=\begin{cases} \inf\ \{ \sum_{i=1}^\infty\mu(A_i) | A_i\in S,\ A\subseteq \cup_{i=1}^\infty A_i \} \\ +\infty, \text{wenn } A \text{ in keiner abz}\mathrm{\ddot{a}}\text{hlbaren Vereinigung von Mengen aus }S\text{ enthalten ist}. \end{cases}$

dann ist $\nu$ ein äußeres Maß auf $\mathcal P (X)$.

Metrisches äußeres Maß

Ein metrisches äußeres Maß ist ein äußeres Maß mit der zusätzlichen Eigenschaft:

• $\nu(A \cup B) = \nu(A) + \nu(B)$

für separierte Mengen A und B.

Beispiel

• Zur Konstruktion des Lebesgue-Maßes $\lambda$ wird ein metrisches äußeres Maß $\lambda^*$ verwendet.

Messbarkeit nach Carathéodory

Sei $\nu:\mathcal{P}(X)\to [0,\infty]$ ein äußeres Maß auf der Potenzmenge einer Menge $X$. Eine Menge $E\subseteq X$ heißt messbar bezüglich $\nu$, falls

$\forall A \in \mathcal{P}(X): \nu(A) = \nu(A \cap E) + \nu(A \setminus E)$

Dabei ist zu beachten, dass der Begriff Messbarkeit in der Maßtheorie zwei Bedeutungen hat, nämlich zum einen Messbarkeit bezüglich eines Messraums und zum anderen die Messbarkeit nach Carathéodory bezüglich eines äußeren Maßes.

Dieser Begriff der Messbarkeit stammt von Constantin Carathéodory.

Beispiele

• Sei $A\subset X$ eine Menge mit

$\quad \nu(E)\geq \nu(E\cap A)+\nu(E\cap A^c)$ für alle $E\subseteq X.$

Dann ist $A$ $\nu$-messbar. Denn aus der σ-Subadditivität des äußeren Maßes folgt:

$\nu(E)=\nu\left((E\cap A)\cup (E\cap A^c)\right)\leq \nu(E \cap A)+ \nu(E\cap A^c)$

• $\emptyset, X$ sind $\nu$-messbar.
• Nullmengen sind messbar: Sei $A\subseteq X$ mit $\nu(A)=0$. Dann ist $A$ $\nu$-messbar.

σ-Algebra der $\nu$-messbaren Mengen

Ist $\nu$ ein äußeres Maß, so ist die Menge

$\mathcal A_{\nu} = \{ A \subset X | A \text{ ist } \nu\text{-messbar} \}$

eine σ-Algebra und $\nu_{|_ {\mathcal A_{\nu}}}$ ein vollständiges Maß.

Siehe auch

Maß, Messbare Mengen

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4. Auflage, Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21390-2, Kapitel II § 4.1.
• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Auflage, De Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013626-0 (Gebunden), ISBN 3-11-013625-2 (Broschiert), § 5.