Überbestimmung

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Als Überbestimmung wird in Teilgebieten der Mathematik und in der Geodäsie das Vorhandensein bzw. die Messung zusätzlicher geometrischer Größen wie Richtungen oder Strecken bezeichnet, die über die notwendigen Bestimmungsstücke eines Modells hinausgehen.

Das einfachste Beispiel ist die Messung eines dritten Winkels im Dreieck, der sich mit den zwei anderen zu 180° ergänzen müsste. Komplexere Fälle sind geometrische Körper oder Vermessungsnetze, bei denen überschüssige Messungen oder Daten vorliegen. Ein aktuelles Alltagsbeispiel sind Navigationssysteme: Bei drei empfangbaren Navigationssatelliten lässt sich die geographische Koordinate direkt berechnen, bei vier Satelliten zusätzlich die Höhe über Meeresspiegel, und bei noch mehr Satelliten wird das System überbestimmt.

Diese Redundanz kann verschiedenen Zwecken dienen:

  • zur Kontrolle des Systems, etwa beim Zusammenfügen mehrerer Operate oder beim Vorliegen unterschiedlicher Bearbeitungsmethoden
  • zur Steigerung der Genauigkeit, weil jede zusätzliche Beobachtung die Wirkung kleiner, unvermeidlicher Messabweichungen verringern kann
  • für Aussagen über die Bestimmtheit und Verlässlichkeit eines Systems.

Bei einem überbestimmten System sind mehr Bestimmungsgleichungen vorhanden als Unbekannte. Durch die zusätzlichen Gleichungen bzw. Messungen kommt es zu kleinen Widersprüchen im System, die es zwar versteifen, aber geeignet zu bearbeiten sind.

Die mathematischen Werkzeuge zur korrekten Bearbeitung von Überbestimmungen sind die Ausgleichsrechnung und die Varianzanalyse. Sie beruhen auf der statistischen Verteilung unmerklicher Einflüsse (siehe Normalverteilung) und minimieren die kleinen Widersprüche zwischen überzähligen Messungen oder Angaben mit der Methode der kleinsten Quadrate.

Als Ergebnis erhält man die wahrscheinlichsten Werte der Unbekannten und die sogenannten Residuen (Restabweichungen) zwischen den endgültigen Werten und den einzelnen Bestimmungssgrößen. Aus diesen Residuen können die einzeln wirksamen Fehleranteile herausgerechnet und für eine Verfeinerung des mathematisch-physikalischen Modells verwendet werden.