Übergangswahrscheinlichkeit

In der Wahrscheinlichkeitstheorie beschreiben Übergangswahrscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeit, mit denen eine Markow-Kette von einem Zustand $i$ zum aktuellen Beobachtungszeitpunkt in andere Zustände $j$ übergeht. Allgemeiner ist ein stochastischer Kern eine Abbildung, die jedem Zustand $i$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Menge der Zustände $\Omega$ zuordnet. Diese Abbildung spielt für Markow-Prozesse mit allgemeinem Zustandsraum die gleiche Rolle wie die Übergangswahrscheinlichkeit von Markow-Ketten. Die Definition wird erweitert auf stochastische Kerne zwischen verschiedenen Wahrscheinlichkeitsräumen, ein Beispiel ist die reguläre bedingte Wahrscheinlichkeit.

Allgemeiner Fall

Im allgemeinen Fall gibt man die Wahrscheinlichkeiten $K(x, A)$ an, mit denen man von einem Zustand $x$ zu einem beliebigen Ereignis $A$ gelangt. Dazu seien $(\Omega, \mathcal A)$ und $(\Omega', \mathcal A')$ Messräume. Eine Abbildung $K \colon \Omega \times \mathcal A' \to [0,1]$ heißt stochastischer Kern oder Markow-Kern von $(\Omega, \mathcal A)$ nach $(\Omega', \mathcal A')$, wenn gilt:

• Für jedes $x \in \Omega$ ist $K(x, \;\cdot\;)$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega', \mathcal A')$.
• Für jedes $A \in \mathcal A'$ ist $K(\;\cdot\;, A)$ eine $\mathcal A$-messbare Funktion.

Jedem Maß $\mu$ auf $(\Omega, \mathcal A)$ ordnet $K$ durch die Zuordnung

$A \mapsto \int_\Omega K(x, A) \mu (dx)$

ein Maß auf $(\Omega', \mathcal A')$ zu. Dieses Maß wird üblicherweise mit $\mu K$ bezeichnet. Ist $\mu$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß, gilt also $\mu(\Omega) = 1$, dann ist auch $\mu K(\Omega') = 1$, das heißt $\mu K$ ist ebenfalls ein Wahrscheinlichkeitsmaß.

Im Fall $(\Omega, \mathcal{A}) = (\Omega', \mathcal{A}')$ wird ein Maß $\mu$, für das $\mu = \mu K$ gilt, stationäres Maß genannt. Ein stationäres Wahrscheinlichkeitsmaß heißt auch stationäre Verteilung.

Bemerkung: Bei manchen Definitionen werden die Argumente von $K$ in umgekehrter Reihenfolge geschrieben, $K(A,x)$ oder auch $K(A|x)$, in Anlehnung an bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Diskreter Fall

Im diskreten Fall, wo $\Omega$ und $\Omega'$ endliche oder abzählbare Mengen sind, genügt es die Wahrscheinlichkeiten $p_{i,j}$ anzugeben, mit denen man vom Zustand $i$ in den Zustand $j$ gelangt. Mit den Bezeichnungen des allgemeinen Falls gilt dann $p_{i,j} = K(i, \{j\})$. Diese Wahrscheinlichkeiten bilden eine Übergangsmatrix $M = (p_{i,j})_{i\in\Omega, j\in\Omega'}$, die die Eigenschaft hat, dass alle Elemente zwischen $0$ und $1$ liegen und dass die Zeilensummen $\sum_{j\in\Omega'} p_{i,j}$ den Wert $1$ haben. Eine solche Matrix wird als stochastische Matrix bezeichnet. Sie ordnet jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $\Omega$ mit einer Zähldichte $\rho=(\rho_i)_{i\in\Omega}$ die Zähldichte

$\rho M = (\sum_{i\in\Omega} \rho_i p_{i,j})_{j\in\Omega'}$

einer Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $\Omega'$ zu, das heißt $\rho M$ wird mit der üblichen Matrixmultiplikation berechnet, wobei Zähldichten als Zeilenvektoren aufgefasst werden.

Bemerkung: Bei manchen Definitionen werden Zeilen und Spalten der Matrix umgekehrt verwendet.

Darstellung als Daniell-stetige Abbildungen und Komposition

Jedem Markow-Kern $K$ von $(\Omega,\mathcal A)$ nach $(\Omega,\mathcal A)$ ist auf dem Raum der numerischen, nichtnegativen Funktionen $E^*$ über

$(T f) (\omega) := \int f(\omega) K(\omega, d\omega)$

eine Abbildung $T$ mit folgenden Eigenschaften zugeordnet:

1. $f \ge 0 \Rightarrow T f \ge 0$ für jedes $f \in E^*$ (Positivität),
2. $f_n \uparrow f \Rightarrow T f_n \uparrow T f$ für jede isotone Folge $(f_n)$ in $E^*$ (Daniell-Stetigkeit, nach Percy John Daniell),
3. $T (f + g) = T f + T g$ (Additivität).

Zu jeder Abbildung $T$ mit diesen Eigenschaften gibt es wiederum genau einen Kern, für den $T$ die so gebildete Abbildung darstellt.

Aus der Komposition dieser Abbildungen $T_1 \circ T_2$ kann eine Definition für die Komposition der zugehörigen Kerne hergeleitet werden: Durch

$K_1 K_2 (\omega, A) = \int K_1 (\omega, \mathrm{d}\omega') K_2 (\omega', A)$

ist ein stochastischer Kern von $(\Omega,\mathcal A)$ nach $(\Omega,\mathcal A)$ definiert, der als Komposition von $K_1$ und $K_2$ bezeichnet wird. Im diskreten Fall entspricht $K_1 K_2$ der Multiplikation der beiden Übergangsmatrizen.

Spezielle Anwendungen

Sie finden breite Anwendung bei der Modellbildung unter Zuhilfenahme von Markow- und Hidden-Markow-Modellen. In der Quantenphysik werden oft Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen quantenmechanischen Zuständen untersucht.

Literatur

• Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. De Gruyter, Berlin 2002, ISBN 3110172364.