Δ-Lemma

Das $\Delta$-Lemma ist ein mathematischer Satz aus der kombinatorischen Mengenlehre. Es findet Anwendung bei der Entwicklung der Forcing-Methode.

Aussage

Sei $D$ eine Familie von Mengen, und $d$ eine weitere Menge. $D$ heißt ein $\Delta$-System mit Wurzel $d$, falls gilt:

• $\forall x\neq y\in D: x\cap y=d$, der Schnitt zweier Mengen aus $D$ ist also konstant.

Das $\Delta$-Lemma besagt nun: Jede überabzählbare Familie endlicher Mengen enthält ein überabzählbares $\Delta$-System.

Verallgemeinerung

Das Lemma lässt sich wie folgt verallgemeinern: Seien $\lambda<\mu$ Kardinalzahlen mit

• $\mu$ ist regulär: $\mu=cf(\mu)$
• Für alle $\alpha<\mu$ gilt: $\alpha^{<\lambda}:=\sup_{\gamma<\lambda}\alpha^{\gamma}<\mu$ (siehe Kardinalzahlarithmetik),

dann gibt es für jede Familie $I$ mit $\left|I\right|=\mu$ und $\left|a\right|<\lambda$ für $a\in I$ ein $\Delta$-System der Mächtigkeit $\mu$. Setzt man $\lambda=\aleph_0$ und $\mu=\aleph_1$, so erhält man obigen Spezialfall.

Literatur

• Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Keneth: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland (1980), ISBN 0-444-85401-0.