Δ-Lemma

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Das \Delta-Lemma ist ein mathematischer Satz aus der kombinatorischen Mengenlehre. Es findet Anwendung bei der Entwicklung der Forcing-Methode.

Aussage[Bearbeiten]

Sei D eine Familie von Mengen, und d eine weitere Menge. D heißt ein \Delta-System mit Wurzel d, falls gilt:

  • \forall x\neq y\in D: x\cap y=d, der Schnitt zweier Mengen aus D ist also konstant.

Das \Delta-Lemma besagt nun: Jede überabzählbare Familie endlicher Mengen enthält ein überabzählbares \Delta-System.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Das Lemma lässt sich wie folgt verallgemeinern: Seien \lambda<\mu Kardinalzahlen mit

dann gibt es für jede Familie I mit \left|I\right|=\mu und \left|a\right|<\lambda für a\in I ein \Delta-System der Mächtigkeit \mu. Setzt man \lambda=\aleph_0 und \mu=\aleph_1, so erhält man obigen Spezialfall.

Literatur[Bearbeiten]

  • Thomas Jech: Set Theory. 3rd millennium edition, revised and expanded, corrected 4th print. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-44085-2.
  • Kenneth Kunen: Set Theory. An Introduction to Independence Proofs (= Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Bd. 102). North-Holland Publishing Co., Amsterdam u. a. 1980, ISBN 0-444-85401-0.