σ-kompakter Raum

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Ein topologischer Raum heißt \sigma-kompakt oder abzählbar im Unendlichen, wenn er sich als abzählbare Vereinigung kompakter Teilräume schreiben lässt. \sigma-Kompaktheit ist also eine Abschwächung des topologischen Begriffs der Kompaktheit. Der Buchstabe \sigma in der Bezeichnung rührt daher, dass die Vereinigung von Mengen früher auch als Summe bezeichnet wurde, die Bezeichnung wurde analog zu „\sigma-finit“ gebildet.

Der Begriff ist wichtig für die abstrakte Integrationstheorie, zusammen mit Lokalkompaktheit und dem Trennungsaxiom T3 garantiert er die Existenz einer kompakten Ausschöpfung.[1]

Beispielsweise ist \mathbb{R}, ausgestattet mit der Standardtopologie, ein \sigma-kompakter topologischer Raum, denn es gilt \mathbb{R} = \cup_{n=1}^\infty [-n, n], so dass sich \mathbb{R} als abzählbare Vereinigung der kompakten topologischen Räume [-n, n] darstellen lässt.

Einzelnachweis[Bearbeiten]

  1. Heine, S. 336.

Literatur[Bearbeiten]

  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin 1996, ISBN 3-540-15307-1.
  • Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Oldenbourg, München 2002, ISBN 3-486-24914-2.