ω-reguläre Sprache

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In der theoretischen Informatik bezeichnet die Klasse der ω-regulären Sprachen eine bestimmte Menge formaler Sprachen aus unendlichen Wörtern. Das Äquivalent im endlichen Fall ist die Klasse der regulären Sprachen.

Der griechische Buchstabe ω (omega) steht hier für die kleinste unendliche Ordinalzahl.

Der Schwerpunkt der Untersuchung ω-regulärer Sprachen liegt in der Automatentheorie. Es lässt sich beispielsweise zeigen, dass die ω-regulären Sprachen genau die Büchi-erkennbaren Sprachen sind.

Unendliche Wörter[Bearbeiten]

Ein unendliches Wort ist eine abzählbar unendliche Sequenz von Zeichen aus einem endlichen Alphabet. Über dem Alphabet \{0,1\} kann z.B. das unendliche Wort 0101111111\ldots gebildet werden. Mengen von unendlichen Wörtern werden ω-Sprachen genannt.

Formal bedeutet dies:

Sei \Sigma ein Alphabet, dann ist die Menge \Sigma^{\omega} aller unendlichen Wörter über \Sigma definiert als die Menge aller Abbildungen von \N nach \Sigma.

Jede Teilmenge von \Sigma^{\omega} heiße ω-Sprache.

Die ω-regulären Sprachen machen nun eine bestimmte Teilklasse der ω-Sprachen aus.

Definition[Bearbeiten]

Die Definition der ω-regulären Sprachen erfolgt rekursiv. Sei dazu U \subseteq \Sigma^+ eine reguläre Sprache, die nicht das leere Wort enthält. Dabei bezeichne \Sigma^+ die positive Hülle von \Sigma.

Dann ist U^{\omega} die Menge aller abzählbar unendlichen Konkatenationen von Wörtern aus U.

Es gilt nun:

  • U^{\omega} ist eine ω-reguläre Sprache.

Seien außerdem L_1;L_2 zwei ω-reguläre Sprachen, dann gilt weiter:

  • U \circ L_1, L_1 \cup L_2 und L_1 \cap L_2 sind ebenfalls ω-reguläre Sprachen.
  • Außer den so konstruierten gibt es keine ω-regulären Sprachen.

Für die in der Definition verwendeten Verknüpfungen siehe auch: Formale Sprache#Operationen auf formalen Sprachen

Literatur[Bearbeiten]

  • Dominique Perrin, Jean-Éric Pin: Infinite Words Automata, Semigroups, Logic and Games (= Pure and Applied Mathematics. Bd. 141). Elsevier – Academic Press, Amsterdam u. a. 2004, ISBN 0-12-532111-2.
  • Ludwig Staiger: ω-Languages. In: Grzegorz Rozenberg, Arto Salomaa (Hrsg.): Handbook of Formal Languages. Band 3: Beyond Words. Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-60649-1, S. 339–387.
  • Wolfgang Thomas: Automata on Infinite Objects. In: Jan van Leeuwen (Hrsg.): Handbook of Theoretical Computer Science. Band B: Formal Models and Semantics. Elsevier Science Publishers u. a., Amsterdam u. a. 1990, ISBN 0-444-88074-7, S. 133–192.