257-Eck

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Die Grafik zeigt als schwarze Linie auf weißem Hintergrund ein mit technischen Mitteln erzeugtes, tatsächliches 257-Eck; es ist aber mit bloßem Auge von einem Kreis nicht unterscheidbar.
Regelmäßiges 257-Eck oder Kreis?

Das 257-Eck ist eine geometrische Figur, genauer ein Polygon. Es ist definiert durch 257 Ecken, die durch ebenso viele Kanten zu einer geschlossenen Figur verbunden sind.

In der Regel ist mit dieser Bezeichnung das regelmäßige 257-Eck gemeint, bei dem alle Seiten gleich lang sind, und dessen Eckpunkte auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.

Konstruktion[Bearbeiten]

Das Besondere am regelmäßigen 257-Eck ist die Tatsache, dass es unter Beschränkung auf die Hilfsmittel Zirkel und Lineal (die Euklidischen Werkzeuge) konstruiert werden kann. Die Zahl 257 ist eine der fünf bekannten Fermatschen Primzahlen:

257 = 2^{2^3}+1.

Carl Friedrich Gauß bewies im Jahre 1796, dass ein regelmäßiges Vieleck genau dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann, wenn die Zahl seiner Ecken abgesehen von einer beliebigen Zweierpotenz gleich einem Produkt verschiedener Fermat'scher Primzahlen ist.

Eine Konstruktionsanleitung für das regelmäßige 257-Eck wurde erstmals im Jahre 1822 von Magnus Georg Paucker präsentiert und nochmals 1832 durch Friedrich Julius Richelot. Duane W. DeTemple veröffentlichte 1991 ein Konstruktionsverfahren unter Verwendung von 150 Hilfskreisen, 1999 publizierte Christian Gottlieb eine weitere Konstruktionsvorschrift (s. Literatur).

Die praktische Durchführung der Konstruktion ist per Hand kaum möglich, da die Anforderungen an Präzision bei der notwendigen Größe sehr schwer einzuhalten sind.

Die GIF-Animation zeigt in zahlreichen Einzelschritten den Ablauf der Konstruktion.
Konstruktion des 257-Eck unter Verwendung des Carlyle-Kreises.

Mathematischer Hintergrund[Bearbeiten]

Der Konstruktion liegt eine Auflösung der Kreisteilungsgleichung x^{257}  - 1 = 0 mittels geschachtelter Quadratwurzeln zugrunde. Diese Auflösung geschieht analog zum für das Siebzehneck beschriebenen Weg, wobei wie dort als Primitivwurzel wieder g = 3\ gewählt werden kann.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Der Zentriwinkel hat den Wert   \frac{360^\circ}{257} \approx 1{,}4^\circ.

Der Innenwinkel hat den Wert   \frac{257 - 2}{257} \cdot 180^\circ \approx 178{,}6^\circ.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Magnus Georg Paucker: Geometrische Verzeichnung des regelmäßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundersiebenundfünfzig-Ecks in den Kreis, Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst, Band 2, 1822, S. 160–219 (online)
  • Friedrich Julius Richelot: De resolutione algebraica aequationis x257 = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Nr. 9, 1832, S. 1–26, 146–161, 209–230, und 337–358 (online).
  • Duane W. DeTemple: Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygonal Constructions. In: The American Mathematical Monthly. No. 98, 1991, S. 97–108, doi:10.2307/2323939.
  • Christian Gottlieb: The Simple and Straightforward Construction of the Regular 257-gon. In: Mathematical Intelligencer. Vol. 21, No. 1, 1999, S. 31–37, doi:10.1007/BF03024829.

Weblinks[Bearbeiten]