ARCH-Modell

Ein ARCH-Modell (autoregressive conditional heteroscedasticity) ist ein stochastisches Modell zur Zeitreihenanalyse, mit dessen Hilfe insbesondere finanzmathematische Zeitreihen mit nicht konstanter Volatilität beschrieben werden können. Es geht von der Annahme aus, dass die bedingte Varianz der zufälligen Modellfehler abhängig ist vom realisierten Zufallsfehler der Vorperiode, so dass große und kleine Fehler dazu tendieren, in Gruppen aufzutreten. ARCH-Modelle wurden von Robert F. Engle in den 1980er Jahren entwickelt. Im Jahr 2003 wurde ihm dafür der Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften verliehen.

Definition

Eine Zeitreihe $(x_t)_{t \in \Z}$ heißt ARCH(p)-Zeitreihe, wenn sie rekursiv definiert ist durch

$\begin{align} x_t &= \sigma_t \epsilon_t \\ \sigma_t^2 &= a_0 + a_1 x_{t-1}^2 + \dotsb + a_p x_{t-p}^2, \end{align}$

wobei $a_0, \dotsc, a_p$ mit $a_p \neq 0$ reelle, nichtnegative Parameter sind, und der Prozess $(\epsilon_t)$ ein sog. weißes Rauschen ist, das heißt $\operatorname{E}(\epsilon_t) = 0$, $\operatorname{Var}(\epsilon_t) = 1$ und $\operatorname{Cov}(\epsilon_s, \epsilon_t) = 0$ für alle $s, t \in \Z$, $s \neq t$.

Eigenschaften

Für ARCH-Modelle gelten die folgenden Aussagen:

• Die auf die Vergangenheit bedingten Erwartungswerte und bedingten Varianzen sind:

$\operatorname{E}(x_t \mid x_{t-1}, x_{t-2}, \dotsc) = 0$  und

$\operatorname{Var}(x_t \mid x_{t-1}, x_{t-2}, \dotsc) = \sigma_t^2$.

• Eine ARCH(p)-Zeitreihe $(x_t)$ ist genau dann (schwach) stationär, wenn alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms

$P(z) = 1 - a_1 z - \dotsb - a_p z^p$

außerhalb des komplexen Einheitskreises liegen.

• Eine stationäre ARCH(p)-Zeitreihe hat den stationären Erwartungswert $\operatorname{E}(x_t) = 0$ und ihre Autokorrelation verschwindet: $\operatorname{Cov}(x_t, x_{t+h}) = 0$ für $h > 0$. Für ihre stationäre Varianz gilt die Formel

$\operatorname{Var}(x_t) = \frac{a_0}{1- \sum_{k=1}^p a_k}$.

• Ist $(x_t)$ eine stationäre ARCH(p)-Zeitreihe, für die $\operatorname{E}(x_t^4) < \infty$ gilt, dann ist der quadrierte Prozess $(x_t^2)$ eine AR-Zeitreihe.

Verallgemeinerungen

Die Idee des ARCH-Modells wurde in verschiedener Weise weiterentwickelt und gehört heute ganz selbstverständlich zu den fortgeschrittenen Methoden der Ökonometrie.

Eine Verallgemeinerung sind die GARCH-Modelle (generalized autoregressive conditional heteroscedasticity), die 1986 von Tim Bollerslev entwickelt wurden. Hierbei hängt die bedingte Varianz nicht nur von der Historie der Zeitreihe ab, sondern auch von ihrer eigenen Vergangenheit.

Literatur

• R. F. Engle: Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of UK. Inflation. In: Econometrica. Vol.: 50, pp. 987 – 1008, 1982.
• T. Bollerslev: Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. In: Journal of Econometrics. Vol.: 31 No.: 3, pp. 307 – 327, 1986.
• Jürgen Franke, Wolfgang Härdle, Christian Matthias Hafner: Statistics of Financial Markets: An Introduction. 3. Auflage Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2011, ISBN 978-3-642-16520-7, Kapitel 13, S. 283 – 342.
• Christian Gouriéroux: ARCH Models and Financial Applications. Springer, New York 1997, ISBN 0-387-94876-7.
• Evdokia Xekalaki, Stavros Degiannakis: ARCH Models for Financial Applications. Wiley, New York 2010, ISBN 978-0-470-06630-0.