ARCH-Modell

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Simulation einer ARCH(1)-Zeitreihe; Zeitabschnitte mit kleiner und mit großer Volatilität wechseln sich ab

Ein ARCH-Modell (autoregressive conditional heteroscedasticity) ist ein stochastisches Modell zur Zeitreihenanalyse, mit dessen Hilfe insbesondere finanzmathematische Zeitreihen mit nicht konstanter Volatilität beschrieben werden können. Es geht von der Annahme aus, dass die bedingte Varianz der zufälligen Modellfehler abhängig ist vom realisierten Zufallsfehler der Vorperiode, so dass große und kleine Fehler dazu tendieren, in Gruppen aufzutreten. ARCH-Modelle wurden von Robert F. Engle in den 1980er Jahren entwickelt. Im Jahr 2003 wurde ihm dafür der Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften verliehen.

Definition[Bearbeiten]

Eine Zeitreihe (x_t)_{t \in \Z} heißt ARCH(p)-Zeitreihe, wenn sie rekursiv definiert ist durch[1]


\begin{align}
x_t &= \sigma_t \epsilon_t \\
\sigma_t^2 &= a_0 + a_1 x_{t-1}^2 + \dotsb + a_p x_{t-p}^2,
\end{align}

wobei a_0, \dotsc, a_p mit a_p \neq 0 reelle, nichtnegative Parameter sind, und der Prozess (\epsilon_t)_{t\in \Z} aus unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen mit \operatorname{E}(\epsilon_t) = 0 und \operatorname{Var}(\epsilon_t) = 1 besteht.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Für ARCH-Modelle gelten unter der Zusatzbedingung, dass \sigma_t für alle t\in \Z bezüglich der durch (\epsilon_s)_{s \leq t-1} erzeugten σ-Algebra messbar ist, die folgenden Aussagen:[1][2]

\operatorname{E}(x_t \mid x_{t-1}, x_{t-2}, \dotsc) = 0  und
\operatorname{Var}(x_t \mid x_{t-1}, x_{t-2}, \dotsc) = \sigma_t^2.
  • Eine ARCH(p)-Zeitreihe (x_t) ist genau dann (schwach) stationär, wenn alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms
P(z) = 1 - a_1 z - \dotsb - a_p z^p
außerhalb des komplexen Einheitskreises liegen.
  • Eine stationäre ARCH(p)-Zeitreihe hat den stationären Erwartungswert \operatorname{E}(x_t) = 0 und ihre Autokorrelation verschwindet: \operatorname{Cov}(x_t, x_{t+h}) = 0 für h > 0. Für ihre stationäre Varianz gilt die Formel
\operatorname{Var}(x_t) = \frac{a_0}{1- \sum_{k=1}^p a_k}.
  • Ist (x_t) eine stationäre ARCH(p)-Zeitreihe, für die \operatorname{E}(x_t^4) < \infty gilt, dann ist der quadrierte Prozess (x_t^2) eine AR-Zeitreihe.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Die Idee des ARCH-Modells wurde in verschiedener Weise weiterentwickelt und gehört heute ganz selbstverständlich zu den fortgeschrittenen Methoden der Ökonometrie.

Eine Verallgemeinerung sind die GARCH-Modelle (generalized autoregressive conditional heteroscedasticity), die 1986 von Tim Bollerslev entwickelt wurden. Hierbei hängt die bedingte Varianz nicht nur von der Historie der Zeitreihe ab, sondern auch von ihrer eigenen Vergangenheit. Ein zeitstetiges Analogon, das sogenannte COGARCH-Modell (continuous-time GARCH), wurde 2004 von Claudia Klüppelberg, Alexander Lindner und Ross Maller vorgestellt.

Literatur[Bearbeiten]

  • R. F. Engle: Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of UK. Inflation. In: Econometrica. Vol.: 50, pp. 987 – 1008, 1982.
  • T. Bollerslev: Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. In: Journal of Econometrics. Vol.: 31 No.: 3, pp. 307 – 327, 1986.
  • Jürgen Franke, Wolfgang Härdle, Christian Matthias Hafner: Statistics of Financial Markets: An Introduction. 3. Auflage Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2011, ISBN 978-3-642-16520-7, Kapitel 13, S. 283 – 342.
  • Christian Gouriéroux: ARCH Models and Financial Applications. Springer, New York 1997, ISBN 0-387-94876-7.
  • Claudia Klüppelberg, Alexander Lindner, Ross Maller: A continuous-time GARCH process driven by a Lévy process: Stationarity and second-order behaviour. In: Journal of Applied Probability. Vol.: 41 No.: 3, pp. 601 - 622, 2004.
  • Evdokia Xekalaki, Stavros Degiannakis: ARCH Models for Financial Applications. Wiley, New York 2010, ISBN 978-0-470-06630-0.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b Jens-Peter Kreiß, Georg Neuhaus: Einführung in die Zeitreihenanalyse. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2006, ISBN 3-540-25628-8, S. 298f.
  2. Rainer Schlittgen, Bernd H. J. Streitberg: Zeitreihenanalyse. 9. Auflage. Oldenbourg Verlag, München/Wien 2001, ISBN 3-486-25725-0, S. 450 f.