Abbesche Invariante

Die Abbesche Invariante stellt in der paraxialen Optik den Zusammenhang zwischen objektseitiger und bildseitiger Schnittweite von Lichtstrahlen dar, die an einer Fläche gebrochenen werden.

Die Abbesche Invariante lautet als Gleichung:

$n\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{s}\right) = n'\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{s'}\right)$  .

s, s' = objektseitige bzw. bildseitige Schnittweite,
r = Krümmungsradius der brechenden Fläche,
n, n' = Brechzahl vor bzw. nach der Fläche.

Die Gleichung besagt, dass die lineare Beziehung zwischen Brechzahl, Radius und Schnittweite vor und nach der Brechung eine konstante Größe behält.

Diese Invariante ist nach Ernst Abbe benannt. Sie stellt eine Grundlage für die Ableitung aller Gesetzmäßigkeiten der optischen Abbildung im achsnahen Gebiet dar. Eine andere diesbezügliche Grundaussage ist die Helmholtz-Lagrangesche Invariante.

Herleitung der Gleichung

zur Herleitung der Gleichung der Abbeschen Invariante

In den Dreiecken ACO und ACO' bestehen folgende Beziehungen nach dem Sinussatz:

$\frac{\sin\epsilon}{\sin(180^\circ-\phi)} = \frac{s - r}{l}$   und

$\frac{\sin\epsilon'}{\sin(180^\circ-\phi)} = \frac{s' - r}{l'}$  .

Die erste durch die zweite Beziehung geteilt:

$\frac{\sin\epsilon}{\sin\epsilon'} = \frac{l'(s-r)}{l(s'-r)}$  .

Mit dem Brechungsgesetz   n sinε = n' sinε' :

$n\left(\frac{s-r}{l}\right) = n'\left(\frac{s'-r}{l'}\right)$  .

Im paraxialen Gebiet sind die Winkel σ und σ' so klein, dass für die Strahllängen l und l' die Schnittweiten s bzw. s' gesetzt werden können. Damit erhält man:

$n\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{s}\right) = n'\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{s'}\right)$  .