Abbildungsgrad

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Der Abbildungsgrad ist ein Hilfsmittel der nichtlinearen Analysis, um die Existenz von Lösungen nichtlinearer Gleichungen f(x) = y nachzuweisen. Mit seiner Hilfe kann man beispielsweise den brouwerschen Fixpunktsatz, den Satz von Borsuk-Ulam oder den jordanschen Kurvensatz beweisen. Im endlichdimensionalen (für stetige Funktionen) bezeichnet man ihn als brouwerschen Abbildungsgrad; seine Erweiterung auf Banachräume (für kompakte Störungen der Identität) heißt leray-schauderscher Abbildungsgrad.

Der brouwersche Abbildungsgrad[Bearbeiten]

Der brouwersche Abbildungsgrad ordnet einer stetigen Funktion f: \overline{\Omega} \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n für offenes, beschränktes \Omega und gegebenes y \in \mathbb{R}^n \setminus f(\partial\Omega) eine ganze Zahl d(f, \Omega, y) zu. Entscheidend für die Anwendungen ist die Tatsache, dass die Gleichung f(x) = y bereits dann lösbar ist, wenn der Abbildungsgrad d(f, \Omega, y) von null verschieden ist. Verschwindet der Abbildungsgrad d(f, \Omega, y), so kann keine Aussage zur Lösbarkeit gemacht werden.

Axiomatische Definition[Bearbeiten]

Der brouwersche Abbildungsgrad ist eine Funktion

d: \{(f, \Omega, y)\ |\ \Omega \subset \mathbb{R}^n\ \mathrm{offen, beschr\ddot{a}nkt}\ ,\ f: \overline{\Omega} \rightarrow \mathbb{R}^n\ \textrm{stetig}\ ,\ y \in \mathbb{R}^n\setminus f(\partial\Omega)\} \rightarrow \mathbb{Z}

mit den folgenden Eigenschaften:

  • d(id, \Omega, y) = 1 für alle y \in \Omega.
  • Zerlegungseigenschaft:
d(f, \Omega, y) = d(f, \Omega_1, y) + d(f, \Omega_2, y), falls \Omega_1, \Omega_2 disjunkte offene Teilmengen von \Omega sind, so dass y \not\in f(\overline{\Omega}\setminus(\Omega_1\cup\Omega_2)).
  • Homotopieinvarianz:
t \mapsto d(F(t,\cdot), \Omega, y(t)) ist bezüglich t \in [0,1] konstant, falls F: [0,1] \times \overline{\Omega} \rightarrow \mathbb{R}^n und y: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^n stetig sind mit y(t) \not = F(t, x) für alle t \in [0,1] und x \in \partial\Omega.

Man kann zeigen, dass eine derartige Funktion existiert und dass sie eindeutig ist.

Wichtige Eigenschaften des brouwerschen Abbildungsgrades[Bearbeiten]

  • Ist d(f,\Omega,y) \neq 0, so ist die Gleichung f(x)=y auf \Omega lösbar.
  • Ist g \in C(\bar{\Omega}) mit
    \max\{|f(x)-g(x)|\, \colon x \in \partial \Omega\} < \mathrm{dist}(y, f(\partial\Omega)),
    so gilt d(f,\Omega,y) = d(g,\Omega, y).
    Insbesondere ist der Abbildungsgrad durch die Werte auf \partial\Omega eindeutig festgelegt.
  • Liegen y_1 und y_2 in derselben Zusammenhangskomponente Z von \mathbb{R}^n\setminus f(\partial\Omega), so gilt d(f,\Omega,y_1) = d(f,\Omega, y_2).
    Man schreibt daher auch kurz d(f,\Omega,Z) für d(f,\Omega,y), um anzudeuten, dass der Abbildungsgrad nicht von dem Punkt, sondern von der Komponente abhängt.
  • Seien f: \overline{\Omega} \rightarrow \mathbb{R}^n und g: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n stetig und K_i die beschränkten Zusammenhangskomponenten von \mathbb{R}^n\setminus f(\partial\Omega) sowie y \in \mathbb{R}^n \setminus (g\circ f)(\partial \Omega), dann gilt die leraysche Produktformel
    d(g\circ f, \Omega ,y) = \sum_i d(f,\Omega, K_i)\cdot d(g, K_i, y),
    worin nur endlich viele Summanden von null verschieden sind.

Darstellungen des Abbildungsgrades[Bearbeiten]

  • Falls f zusätzlich auf \Omega stetig differenzierbar ist und alle Punkte in f^{-1}(y) regulär sind, das heißt, die Determinante der Jacobimatrix J(f)(x) ist in diesen Punkten x \in f^{-1}(y) nicht null, so gilt
    d(f,\Omega,y) = \sum_{x \in f^{-1}(y)} \mathrm{sgn}\left(\det(J(f)(x))\right)\, .
    Ist f nicht stetig differenzierbar, dann kann man aufgrund der zweiten Eigenschaft eine Funktion g \in C^1(\Omega) \cap C(\bar{\Omega}) wählen, die den gleichen Abbildungsgrad wie f hat.
  • Sei f \colon \overline{\Omega} \to \R^n wieder stetig auf \overline{\Omega} und stetig differenzierbar auf \Omega, y \notin f(\partial \Omega) kein kritischer Punkt. Sei außerdem (\phi_\epsilon)_{\epsilon > 0} eine Schar stetiger Funktionen von \R^n nach \R mit \operatorname{supp}(\phi_\epsilon) \subset \overline{K_\epsilon(0)} und \textstyle \int_{\R^n} \phi_{\epsilon}(x) \mathrm{d} x= 1 für alle \epsilon > 0 wählen, hierbei bezeichnet \overline{K_\epsilon(0)} \subset \R^n den abgeschlossenen Ball vom Radius \epsilon um Null. Dann existiert ein \epsilon_0(f,y), so dass die Integralformel
    d(f, \Omega, y) = \int_\Omega \phi_\epsilon (f(x) - y) J(f)(x) \mathrm{d} x
    für alle \epsilon \geq \epsilon_0(f,y) gilt.

Windungszahl[Bearbeiten]

Der brouwersche Abbildungsgrad umfasst als Spezialfall die in der Funktionentheorie wichtige Windungszahl \operatorname{ind}. Identifiziert man \R^2 mit \C, so ist der brouwersche Abbildungsgrad auch für die komplexe Ebene definiert. Eine geschlossene Kurve \gamma \colon [0,1] \to \C kann man als stetiges Bild von \mathbb{S}(0) verstehen. Mit \mathbb{S}(0) \subset \C wird der Einheitskreisring um den Punkt null bezeichnet. Das heißt, es existiert eine stetige und surjektive Abbildung f \colon \mathbb{S}(0) \to \operatorname{Bild}(\gamma). Ist nun a\notin \gamma = f(\mathbb{S}(0)), so ist aufgrund der Stetigkeit des Abbildungsgrades der Ausdruck d(f,K_1(0),a) für alle stetigen Fortsetzungen von f dieselbe Zahl. Es gilt nun


d(f,K_1(0),a) = \sum_{x \in f^{-1}(a)} \mathrm{sgn}\left(\det(J(f)(x))\right) = \sum_{x \in f^{-1}(a)} \frac{1}{2 \pi i}\int_{f(S^+_x)} \frac{\mathrm{d} z}{z - a} = \frac{1}{2 \pi i}\int_{f(\mathbb{S}(0))} \frac{\mathrm{d} z}{z - a} = \operatorname{ind}(f(S) , a),

hierbei bezeichnet S^+_x einen genügend kleinen Kreisring um x. Insbesondere zur Rechtfertigung des letzten Gleichheitszeichen sind noch ein paar Fakten aus der Topologie nötig.

Der leray-schaudersche Abbildungsgrad[Bearbeiten]

Der leray-schaudersche Abbildungsgrad ist ein Analogon des brouwerschen Abbildungsgrades für (unendlichdimensionale) Banachräume. Dieser Abbildungsgrad wurde 1934 von J. Leray und J. Schauder definiert.[1] Jedoch ist es nicht möglich, den Abbildungsgrad für beliebige stetige Funktionen zu definieren, sondern man darf nur noch kompakte Störungen der Identität zulassen.

Kompakte Störungen der Identität[Bearbeiten]

Seien X, Y Banachräume und M eine Teilmenge des Banachraums X. Eine Funktion K: M \rightarrow Y heißt kompakter Operator, falls

Ein Operator F \colon M \subset X \rightarrow X, der sich als F = \operatorname{Id} - K mit einem kompakten Operator K darstellen lässt, heißt kompakte Störung der Identität.

Kompakte Homotopie[Bearbeiten]

Eine kompakte Homotopie ist eine Homotopie zwischen kompakten Operatoren. Es sei M \subset X offen und beschränkt und K: t \mapsto K(t) für t \in [0, 1] eine operatorwertige Funktion mit kompakten Operatoren K(t): M \subset X \rightarrow X. Diese operatorwertige Funktion K heißt kompakte Homotopie auf M, falls zu jedem \varepsilon > 0 ein \delta>0 existiert, so dass

\|K(t_1)(x) - K(t_2)(x)\|_X \leq \varepsilon

für alle x \in M und t_1, t_2 \in [0, 1] mit |t_1-t_2| < \delta gilt.

Definition[Bearbeiten]

Sei F = \operatorname{Id} - K \colon \overline{M} \subset X \rightarrow X eine kompakte Störung der Identität, M \subset X offen und beschränkt und y \not\in F(\partial M). Dann ist der leray-schaudersche Abbildungsgrad eine ganze Zahl d(F, M, y) \in \mathbb{Z}, so dass folgende Eigenschaften gelten:

  • Ist d(F, M, y) \neq 0, dann ist die Gleichung F(x) = y lösbar.
  • Homotopieinvarianz: Ist K eine kompakte Homotopie auf \overline{M} mit K(t)(x) \neq x für alle t \in [0, 1] und x \in \partial M, so ist der Abbildungsgrad d((\operatorname{Id}-K)(t), M, y) unabhängig von t \in [0, 1].

Beispiel[Bearbeiten]

Die wichtigste Methode zur Berechnung des leray-schauderschen Abbildungsgrades führt, genau wie beim brouwerschen Abbildungsgrad, über die Homotopieinvarianz.

Interessiert man sich beispielsweise dafür, ob die Gleichung x - F_0(x) x = y eine Lösung in \overline{\Omega} hat, so sucht man zunächst einen passenden Raum, so dass F_0 ein kompakter Operator ist. Um die Lösbarkeit nachzuweisen, nimmt man nun indirekt an, dass x - F_0(x) \neq y auf \partial\Omega gilt, weil sonst nichts mehr zu zeigen ist.

Anschließend sucht man eine kompakte Homotopie H mit H(1) = F_0 und x - H(t)(x) \neq y für alle t \in [0, 1] und x \in \partial \Omega. Diese Homotopie sollte so gewählt sein, dass man für den leray-schauderschen Abbildungsgrad d(I-H(0), \Omega, y) \neq 0 nachweisen kann. Daraus folgt nämlich d(I-H(t), \Omega, y) \neq 0 für alle t \in [0, 1] und somit die Existenz eines x \in \Omega mit x - F_0(x) x = y.

Für ein konkretes Beispiel sei das Anfangswertproblem

 x' = f(t,x)

für  t \in [0,a] und x(0) = x_0 gegeben. Man kann zeigen, dass es mindestens eine Lösung hat, falls f \colon [0,a] \times \R^n \to \R^n stetig ist und falls |f(t,x)| \leq B(1 + |x|) auf [0,a] \times \R^n für ein geeignetes B \geq 0 gilt. Um dies zu sehen, schreibt man das System von Differentialgleichungen in das System

x(t) = x_0 + \int_0^t f(\tau,x(\tau)) \mathrm{d} \tau

von Integralgleichungen um. Da beide Gleichungen äquivalent sind, reicht es zu zeigen, dass die Integralgleichung eine stetige Lösung besitzt. Diese ist dann auch differenzierbar. Daher wählt man X = C([0,a]) als den Raum der stetigen Funktion auf dem Intervall [0,a] mit der Maximumsnorm \textstyle \|x\| = \max_{t \in [0,a]} |x(t)|. Außerdem setzt man

F_0(x)(t) := x_0 + \int_0^t f(\tau,x(\tau)) \mathrm{d} \tau\,.

Aufgrund des Satzes von Arzelà-Ascoli ist F_0 ein kompakter Operator und H(t)(x) := t\cdot F_0(x) eine kompakte Homotopie. Da die Existenz einer Lösung von x - F_0(x) = 0 untersucht wird, wird y = 0 gesetzt. Da |f(t,x)| \leq B(1 + |x|) vorausgesetzt wurde, kann man zeigen, dass es reicht, \Omega := B_r(0) mit einem r > (|x_0| + B \cdot a)e^{-Ba} zu wählen, und erhält aufgrund der Homotopieinvarianz

d(I-F_0, B_r(0),y) = d(I, B_r(0),y) = 1\,.

Damit ist gezeigt, dass die Integralgleichung mindestens eine stetige Lösung besitzt.

Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten[Bearbeiten]

Sei

f:M\rightarrow N

eine stetige Abbildung zwischen n-dimensionalen, kompakten, orientierten Mannigfaltigkeiten. (n ist eine natürliche Zahl.)

Die Orientierung der Mannigfaltigkeiten induziert Isomorphismen

H_n(M,\Z)=\Z, H_n(N,\Z)=\Z.

Der von f induzierte Homomorphismus

f_*:H_n(M,\Z)\rightarrow H_n(N,\Z)

ist die Multiplikation mit einer ganzen Zahl d, diese ist der Abbildungsgrad von f.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1.
  •  Michael Růžička: Nichtlineare Funktionalanalysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 3-540-20066-5.
  •  Andrzej Granas, James Dugundji: Fixed point theory. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2003, ISBN 9780387001739.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1, Seite 37.