Abbildungstorus

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In der Mathematik sind Abbildungstori topologische Räume, mit denen topologische Abbildungen beschrieben werden.

Definition[Bearbeiten]

Das Möbiusband ist der Abbildungstorus der durch f(x)=-x definierten Abbildung f:\left[0,1\right]\rightarrow \left[0,1\right].
Die Kleinsche Flasche ist ein nichttriviales Bündel über S1 mit Faser S1 und Monodromie f(z)=\frac{1}{z}.

Sei X ein topologischer Raum und f:X\rightarrow X ein Homöomorphismus. Der Abbildungstorus von f ist definiert als Quotient

T_f:=X\times\left[0,1\right]/\sim

von X\times\left[0,1\right] bzgl. der Äquivalenzrelation (x,1)\sim (f(x),0) für alle x\in X.

Faserbündel über dem Kreis[Bearbeiten]

Der Kreis S^1 kann als Quotientenraum S^1=\left[0,1\right]/\sim mit 0\sim 1 aufgefasst werden, damit definiert die Projektion auf den ersten Faktor p:X\times\left[0,1\right]\rightarrow X ein Faserbündel

p:T_f\rightarrow S^1.

Umgekehrt ist jedes Faserbündel über dem Kreis als Abbildungstorus eines Homöomorphismus f:X\rightarrow X darstellbar. Die Abbildung f wird als Monodromie des Faserbündels bezeichnet.

Abbildungstori in der 3-dimensionalen Topologie[Bearbeiten]

Abbildungstori spielen eine wichtige Rolle in Thurstons Zugang zur Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten.

Homöomorphismen kompakter Flächen fallen in eine von drei Kategorien: periodisch, reduzibel oder pseudo-Anosov. Thurston hat bewiesen, dass ein 3-dimensionaler Abbildungstorus genau dann hyperbolisch ist, wenn die Monodromie pseudo-Anosov ist.[1]

Ian Agol hat 2012 gezeigt, dass jede kompakte 3-Mannigfaltigkeit eine endliche Überlagerung besitzt, die sich als Abbildungstorus darstellen lässt. [2]

Gruppentheorie[Bearbeiten]

In der Gruppentheorie definiert man Abbildungstori für Endomorphismen freier Gruppen. Sei F(X)=\langle X\mid - \rangle die von einer Menge X erzeugte freie Gruppe und \phi\colon F(X)\rightarrow F(X) ein Endomorphismus. Dann ist der Abbildungstorus definiert durch die Präsentierung

T_\phi:=\langle t,X \mid t^{-1}xt=\phi(x)\ \forall x\in X\rangle.

Weblinks[Bearbeiten]

  1. Hyperbolic Structures on 3-manifolds, II: Surface groups and 3-manifolds which fiber over the circle
  2. The virtual Haken conjecture Documenta Math. 18 (2013) 1045--1087