Abelsche Identität

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Dieser Artikel behandelt die abelsche Identität für die Wronski-Determinante. Für die abelsche Identität als Umformung einer Summe von Produkten jeweils zweier Faktoren siehe abelsche partielle Summation.

Die abelsche Identität ist ein Ausdruck für die Wronski-Determinante zweier linear unabhängiger homogener Lösungen einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die Beziehung wurde 1827 von dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel hergeleitet.

Aussage[Bearbeiten]

Gegeben sei die lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung

\ y''(x)+P(x)y'(x)+Q(x)y(x)=0.

Für die Wronski-Determinante von zwei Lösungen der Differentialgleichung gilt dann

W(x)=W(x_0)\exp\left(-\int_{x_0}^xP(\xi)\,{\rm d}\xi\right).

Beweis[Bearbeiten]

Nach Definition ist \ W(x) = \det \Phi(x), worin \ \Phi ein Fundamentalsystem für die Differentialgleichung

\ Y'(x) = A(x)Y(x) mit A(x) := \begin{pmatrix}0&1\\-Q(x)&-P(x)\\\end{pmatrix}

ist. Gemäß der liouvilleschen Formel gilt

W(x) = W(x_0)\exp\left(\int_{x_0}^x{\rm Spur}(A(\xi)){\rm d}\xi\right) = W(x_0)\exp\left(-\int_{x_0}^xP(\xi)\,{\rm d}\xi\right)\ .
\Box

Anwendung[Bearbeiten]

Die abelsche Identität erlaubt es, die Wronski-Determinante bei bekanntem Wert an der Stelle x_0 für alle anderen x zu berechnen. Insbesondere ist die Wronski-Determinante konstant, wenn P(x)\equiv 0 gilt. Aufgrund der Beziehung, die die Wronski-Determinante zwischen zwei linear unabhängigen Lösungen herstellt, erlaubt sie unter Umständen, die eine aus der anderen zu berechnen.

Literatur[Bearbeiten]

  • W. Boyce und R. Di Prima: Elementary differential equations and boundary value problems. Wiley, New York, 1969
  • Eric W. Weisstein. Abel's Differential Equation Identity. From MathWorld-A Wolfram Web Resource. (siehe Weblinks)

Weblinks[Bearbeiten]