Abelsche Kategorie

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Im mathematischen Teilgebiet der Algebra und angrenzenden Gebieten versteht man unter einer abelschen Kategorie eine Kategorie, die sich in einigen wesentlichen Aspekten wie die Kategorie der abelschen Gruppen verhält. In geringerem Umfang gilt dies auch für additive Kategorien.

Definition[Bearbeiten]

Es sei \mathcal C eine Kategorie zusammen mit der Struktur einer abelschen Gruppe auf jeder Morphismenmenge \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y) für Objekte X,Y\in\operatorname{Ob}\mathcal C.

\mathcal C ist eine präadditive Kategorie, wenn zusätzlich folgende Bedingungen erfüllt sind:

  • Die Komposition von Morphismen ist biadditiv, das heißt für Morphismen f,f_1,f_2\in \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y) und g,g_1,g_2\in \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(Y,Z) gilt g\circ(f_1 + f_2) = (g\circ f_1)+(g\circ f_2) bzw. (g_1+g_2)\circ f = (g_1\circ f)+(g_2\circ f), wobei die Additionen in den Morphismengruppen jeweils mit demselben Symbol + bezeichnet sind.

\mathcal C ist eine additive Kategorie, wenn sie präadditiv ist und zusätzlich die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

\mathcal C ist eine abelsche Kategorie, wenn sie präadditiv ist und zusätzlich die folgenden (stärkeren) Bedingungen erfüllt sind:

  • Es gibt ein Nullobjekt.
  • Es gibt (endliche) Biprodukte, d.h. zu je zwei Objekten X_1,X_2 gibt es ein Objekt X_1\oplus X_2 zusammen mit Morphismen p_\nu\colon X_1\oplus X_2\to X_\nu und i_\nu\colon X_\nu\to X_1\oplus X_2 für \nu=1,2, so dass
p_\nu\circ i_\nu=\operatorname{id}_{X_\nu} und i_1\circ p_1+i_2\circ p_2=\operatorname{id}_{X_1\oplus X_2}
gilt und dass X_1\oplus X_2 mit p_\nu ein Produkt bildet und mit i_\nu ein Koprodukt.

Bedeutung[Bearbeiten]

Abelsche Kategorien sind ein wichtiges Werkzeug, um Aussagen über abelsche Gruppen zu verallgemeinern; so gelten beispielsweise das Fünferlemma oder das Schlangenlemma in jeder abelschen Kategorie. Abelsche Kategorien sind auch der natürliche Kontext für die homologische Algebra.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Für abelsche Kategorien gilt:

  • Die Kategorie ist ausgeglichen: Ein Morphismus ist genau dann ein Isomorphismus, wenn er ein Monomorphismus und ein Epimorphismus, also ein Bimorphismus, ist.
  • Jeder Morphismus besitzt eine im Wesentlichen eindeutige Faktorisierung i\circ p in einen Epimorphismus p und einen Monomorphismus i.
  • Die Homomorphie- und Isomorphiesätze gelten.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Jeder unitäre Ring ist die Morphismenmenge einer präadditiven Kategorie mit einem einzigen Objekt.

Additiv ist:

  • Die Kategorie Div der teilbaren Gruppen: Der Kern eines Homomorphismus f\colon \Q/\Z\to G ist stets das Nullobjekt (mit Nullhomomorphismus), selbst dann, wenn f nicht injektiv ist. Daher ist die kanonische Projektion \pi\colon\Q\to\Q/\Z kein Kern, obwohl es sich andererseits um einen Monomorphismus handelt.

Abelsch sind beispielsweise:

Einbettungssätze[Bearbeiten]

Die enge Verwandtschaft zu den abelschen Gruppen geht so weit, dass man Objekte einer abelschen Kategorie mithilfe eines geeigneten Funktors als spezielle abelsche Gruppen auffassen kann (Einbettungssatz von Mitchell):

  • Für jede kleine abelsche Kategorie \mathcal C gibt es einen exakten treuen Funktor \mathcal C\to\mathbf{Ab}.
  • Für jede kleine abelsche Kategorie \mathcal C gibt es einen Ring A und einen volltreuen exakten Funktor von \mathcal C in die Kategorie der A-Moduln.

Geschichte[Bearbeiten]

Erste Ansätze zur Definition des Begriffes "abelsche Kategorie" stammen von S. Eilenberg und S. Mac Lane aus den frühen 50er Jahren. Der Durchbruch gelang jedoch erst mit A. Grothendiecks epochemachendem Artikel Sur quelques points d'algèbre homologique aus dem Jahre 1957.

Literatur[Bearbeiten]

  • A. Grothendieck, Sur quelques points d'algèbre homologique. Tohôku Math. J., II. Ser. 9, 119–221 (1957). pdf
  • S. Mac Lane, Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag, New York 1971.
  • Peter Freyd, Abelian Categories. Harper & Row, New York and John Weatherhill, Tokyo 1964.