Abelsche partielle Summation

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In der Mathematik ist die abelsche partielle Summation (nach N. H. Abel) eine bestimmte Umformung einer Summe von Produkten jeweils zweier Zahlen.

Aussage[Bearbeiten]

Es seien n eine natürliche Zahl und a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n reelle Zahlen. Dann gilt

\sum_{k=1}^{n}a_k b_k = A_nb_n + \sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1})

mit

A_k = a_1 + a_2 + \ldots + a_k.

Die Aussage besitzt eine gewisse formale Ähnlichkeit zur partiellen Integration, wenn man die Entsprechung zwischen Summen und Integralen sowie zwischen Differenzen und Ableitungen berücksichtigt. Dies motiviert die Bezeichnung.

Abelsche Ungleichung[Bearbeiten]

Ist (b_k) eine monoton fallende Folge mit positiven Folgegliedern, d. h. gilt

b_1\geq b_2\geq b_3\geq\ldots\geq b_n>0,

und sind die Zahlen a_k beliebig reell (oder komplex), so gilt

\bigg|\sum_{k=1}^na_kb_k\bigg|\leq b_1\cdot\max_{k=1,\ldots,n}|A_k|.

(Zur Notation „max“ siehe größtes und kleinstes Element.)

Diese Aussage folgt direkt durch Anwendung der Dreiecksungleichung auf die rechte Seite der oben angegebenen Gleichung für die abelsche partielle Summation.

Anwendungsbeispiel[Bearbeiten]

Abel benutzt die Ungleichung in seiner Arbeit (siehe Quellen), um zu beweisen, dass eine Potenzreihe

a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots,

die für eine bestimmte positive reelle Zahl x=x_0 konvergiert, auch für jede kleinere positive Zahl x<x_0 konvergent ist und auf 0<x<x_0 eine stetige Funktion darstellt. Der wesentliche Schritt dabei ist die Umformung

a_mx^m + a_{m+1}x^{m+1} + \ldots = \Big(\frac x{x_0}\Big)^m\cdot a_mx_0^m + \Big(\frac x{x_0}\Big)^{m+1}\cdot a_{m+1}x_0^{m+1} + \ldots,

und da (x/x_0)^k eine monoton fallende Folge ist, kann man die Summe auf der rechten Seite nach der abelschen Ungleichung durch

\bigg|\frac x{x_0}\bigg|^m\cdot\sup_{k\geq m}\bigg|\sum_{\nu=m}^k a_\nu x_0^\nu\,\bigg|

nach oben abschätzen, und die beiden Faktoren werden für großes m beliebig klein.

Quellen[Bearbeiten]

\textstyle 1+\frac m1\cdot x+\frac{m\,\cdot\,(m-1)}{1\,\cdot\,2}\cdot\,x^2+\frac{m\cdot \,(m-1)\,\cdot\,(m-2)}{1\,\cdot\,2\,\cdot\,3}\cdot \,x^3+\ldots,
J. Reine Angew. Math. 1 (1829) 311–331
Die abelsche Ungleichung zusammen mit der relevanten Umformung findet sich als Lehrsatz III auf S. 314.

Weblinks[Bearbeiten]

Abelsche Ungleichung