Abelscher Grenzwertsatz

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Der Abelsche Grenzwertsatz beschreibt unter welchen Bedingungen sich eine als Potenzreihe definierte Funktion stetig auf die Ränder des Konvergenzintervalls fortsetzen lässt.

Sei $\sum_{n=0}^\infty a_n$ eine konvergente Reihe reeller Zahlen. Dann konvergiert die Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ gleichmäßig auf dem Intervall $[0,1]$ und die durch sie definierte Funktion $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ ist stetig auf $[0,1]$ mit $f(1)=\sum_{n=0}^\infty a_n$ .

[Bearbeiten] Anwendung

Die Umkehrfunktion der Tangensfunktion besitzt auf dem Intervall $(0,1)\subset(-1,1)$ die folgende Darstellung als Potenzreihe: $\arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ .

Die Reihe $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{2n+1}$ konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium und somit liefert der Abelsche Grenzwertsatz die Identität:

$\frac{\pi}{4}= \arctan(1)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{2n+1}$

[Bearbeiten] Literatur

Kurt Endl,Wolfgang Luh: Analysis II. Eine integrierte Darstellung.7-Auflage, Aula-Verlag Wiesbaden 1989, S.205.
Heuser: Lehrbuch der Analysis - Teil 1. 6-te Auflage, Teubner 1989, ISBN 3-519-42221-2, S.367
Vieweg Mathematik Lexikon,Vieweg-Verlag (1988).