Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion

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Die Abrundungsfunktion (auch Gaußklammer, Ganzzahl-Funktion, Ganzteilfunktion oder Entier-Klammer) und die Aufrundungsfunktion sind Funktionen, die einer reellen Zahl die nächstliegende nicht größere bzw. nicht kleinere ganze Zahl zuordnen. Die Notation wurde nach Carl Friedrich Gauß benannt, der das Symbol \left[ x \right] für die Abrundungsfunktion 1808 einführte.[1] Ende des 20. Jahrhunderts verbreiteten sich auch die von Kenneth E. Iverson eingeführten Bezeichnungen \operatorname{floor}(x) und \lfloor x \rfloor (engl. floor „Boden“) für die Gaußklammer sowie \operatorname{ceil}(x) und \lceil x \rceil (engl. ceiling „Decke“) für die Aufrundungsfunktion.[2]

Abrundungsfunktion oder Gaußklammer[Bearbeiten]

Abrundungsfunktion oder Gaußklammerfunktion

Definition[Bearbeiten]

Sie ist folgendermaßen definiert:

Für eine reelle Zahl x ist \lfloor x \rfloor die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist:
\lfloor x \rfloor=\max \{k\in\Z \mid k\leq x\}

Beispiele[Bearbeiten]

  •  \lfloor 2{,}8 \rfloor = 2
  •  \lfloor -2{,}8 \rfloor = -3
Man beachte, dass  \lfloor -2{,}8 \rfloor nicht etwa gleich -2 ist. Die Definition verlangt ja \lfloor x \rfloor \le x, und es ist -2>-2{,}8.
  •  \lfloor -2{,}2 \rfloor = -3
  •  \lfloor 2 \rfloor = 2

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Für alle k \in \Z, x \in \R gilt
    k \leq \lfloor x \rfloor \Longleftrightarrow k \leq x.
  • Es gilt immer \lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor+1. Dabei ist \lfloor x \rfloor = x genau dann, wenn x eine ganze Zahl ist.
  • Für jede ganze Zahl k und jede reelle Zahl x gilt
     \lfloor x+k \rfloor = \lfloor x \rfloor + k .
  • Für alle reellen Zahlen x, y gilt
     \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \le \lfloor x+y \rfloor \le \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1 .
  • Für jede ganze Zahl k und jede natürliche Zahl n gilt
    \left\lfloor \frac{k}{n} \right\rfloor \ge \frac{k-n+1}{n}.
  • Die Abrundungsfunktion ist idempotent: Es gilt
    \bigl\lfloor \lfloor x \rfloor \bigr\rfloor = \lfloor x \rfloor.
  • Für nichtganze reelle x konvergiert die Fourierreihe der 1-periodischen Funktion \lfloor x \rfloor-x, und es gilt
    \lfloor x \rfloor = x-\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin{(2k\pi x)}}{k}.
  • Sind m \in \Z und n \in \N, so gilt
\left\lfloor\frac{x+m}{n}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{\lfloor x\rfloor +m}{n}\right\rfloor.
Daraus folgt direkt, dass, falls m \neq 0,
\left\lfloor \frac{\lfloor x/m\rfloor}{n} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{x}{mn} \right\rfloor.
Ferner gilt auch
\left\lfloor \frac{m}{n} \right\rfloor = \left\lceil \frac{m-n+1}{n} \right\rceil.

Aufrundungsfunktion[Bearbeiten]

Aufrundungsfunktion

Definition[Bearbeiten]

Sie ist so definiert:

Für eine reelle Zahl x ist \lceil x \rceil die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich x ist.
\lceil x \rceil=\min \{k\in\Z \mid k\ge x\}

Beispiele[Bearbeiten]

  •  \lceil 2{,}8 \rceil = 3
  •  \lceil 2{,}3 \rceil = 3
  •  \lceil -2{,}8 \rceil = -2
  •  \lceil 2 \rceil = 2

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Es gilt analog
\lceil \lceil x \rceil \rceil = \lceil x \rceil
  • Sind m \in \Z und n \in \N, so gilt
\left\lceil\frac{x+m}{n}\right\rceil = \left\lceil\frac{\lceil x\rceil +m}{n}\right\rceil.
Daraus folgt direkt, dass, falls m \neq 0,
\left\lceil \frac{\lceil x/m\rceil}{n} \right\rceil = \left\lceil \frac{x}{mn} \right\rceil.

Allgemeine Eigenschaften[Bearbeiten]

Gaußklammer und Dezimalstellen[Bearbeiten]

Es gilt für positive Zahlen:

x = \operatorname{floor}(x) + \operatorname{frac} (x)
Die Funktion frac(x) liefert dabei den Nachkommaanteil der Zahl.

Zusammenhänge zwischen Auf- und Abrundungsfunktion[Bearbeiten]

  • Es ist stets
\lceil x \rceil + \lfloor -x \rfloor = 0
Deshalb erhält man die Aufrundungsfunktion aus der Gaußklammerfunktion per
\lceil x \rceil = -\lfloor -x \rfloor
\left\lfloor \frac{k}{2} \right\rfloor + \left\lceil \frac{k}{2} \right\rceil = k

Kaufmännische Rundung[Bearbeiten]

Die kaufmännische Rundung auf die nächstliegende ganze Zahl kann auch mit diesen Funktionen ausgedrückt werden:

  • \lfloor x + 0{,}5\rfloor \mbox{ für } x \ge 0
  • \lceil x - 0{,}5\rceil \mbox{ für } x< 0

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Earliest Uses of Function Symbols: Until recently [x] has been the standard symbol for the greatest integer function. According to Grinstein (1970), "The use of the bracket notation, which has led some authors to term this the bracket function, stems back to the work of Gauss (1808) in number theory. The function is also referred to by Legendre who used the now obsolete notation E(x)." The Gauss reference is to Theorematis arithmetici demonstratio nova. Werke Volume: Bd. 2 p. 5. (aufgerufen am 25. Juli 2009)
  2. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (C): The terms CEILING FUNCTION and FLOOR FUNCTION appear in Kenneth E. Iverson's A Programming Language (1962, p. 12): "Two functions are defined: 1. the floor of x (or integral part of x) denoted by \lfloor x \rfloor and defined as the largest integer not exceeding x, 2. the ceiling of x denoted by \lceil x \rceil and defined as the smallest integer not exceeded by x." This was the first appearance of the terms and symbols, according to R. L. Graham, D. E. Knuth & O. Patashnik Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (1989, p. 67). (aufgerufen am 25. Juli 2009)