Absolute Galoisgruppe

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Die absolute Galoisgruppe  G_K eines Körpers  K ist die Galoisgruppe, welche zum separablen Abschluss  K_{sep}/K gehört. Sie ist eindeutig bis auf Isomorphie. Im Allgemeinen ist die Körpererweiterung  K_{sep}/K von unendlichem Grad, weshalb der Hauptsatz der Galoistheorie als solcher nicht mehr anwendbar ist. Das Studium von  G_K verspricht Information über sämtliche endlichen galoisschen Körpererweiterungen  L/K , insbesondere Hinweise zur Lösung des Umkehrproblems der Galoistheorie.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Für einen perfekten Körper  K ist der separable Abschluss gleich dem algebraischen Abschluss, also  K_{sep}=\overline{K} .
    • Wegen  \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{C} ist  G_{\mathbb{R}}=\{id,c\} , wobei  c die komplexe Konjugation bezeichnet.
    • Für  K=\mathbb{Q} wurde bisher keine explizite Charakterisierung von  G_K gefunden. Man erhofft sich Aussagen aus dem Satz von Belyi, nach dem  G_K treu auf bestimmten Graphen, den sogenannten dessins d' enfants, operiert.
    • Wenn  \mathbb{F}_q der Körper mit  q Elementen ist, gilt     G_{\mathbb{F}_q}=\lim_{\longleftarrow} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=: \hat{\mathbb{Z}
} , wobei auf der rechten Seite der projektive Limes von  \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}~(n \in \mathbb{N}) , der sogenannte Prüferring, steht.

Literatur[Bearbeiten]

  • Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag.