Absolutkonvexe Menge

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Absolutkonvexe Mengen spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der lokalkonvexen Räume, da sie in natürlicher Weise zu Halbnormen führen.

Definition[Bearbeiten]

Eine Teilmenge A eines reellen oder komplexen Vektorraums heißt absolutkonvex, wenn für alle \lambda,\mu \in {\mathbb K} mit |\lambda|+ |\mu| \le 1 und alle x,y\in A stets \lambda x + \mu y \in A gilt. Damit ist A genau dann absolutkonvex, wenn A ausgewogen und konvex ist. (Dabei steht {\mathbb K} für den Körper der reellen oder komplexen Zahlen.)

Beziehung zu Halbnormen[Bearbeiten]

Ist U eine absolutkonvexe Nullumgebung des topologischen Vektorraums E, so definiert p_U(x) := \inf\{t>0; x\in tU\} eine Halbnorm auf E. Es gilt

U^\circ = \{x\in E; p_U(x) < 1\} \subset U \subset \{x\in E; p_U(x) \le 1\} = \overline{U}.

Man nennt p_U auch das Minkowski-Funktional zu U.

Leicht zeigt man, dass jeder lokalkonvexe Vektorraum eine Nullumgebungsbasis aus absolutkonvexen Mengen besitzt. Mit Hilfe der Minkowski-Funktionale kann man die Topologie also auch durch Halbnormen beschreiben. Dies klärt den Zusammenhang zwischen den beiden im Artikel über lokalkonvexe Räume gegebenen Definitionen.

Absolutkonvexe Hülle[Bearbeiten]

Da Durchschnitte absolutkonvexer Mengen offenbar wieder absolutkonvex sind, ist jede Menge M eines reellen oder komplexen Vektorraums in einer kleinsten absolutkonvexen Menge enthalten. Diese nennt man die absolutkonvexe Hülle \Gamma M von M. Es gilt \Gamma M = \{\sum_{j=1}^n\lambda_j x_j; \lambda_j \in {\mathbb K}, \sum_{j=1}^n|\lambda_j| \le 1,x_j \in M, n\in{\mathbb N}\}.

Quelle[Bearbeiten]