Absorbierende Menge
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In der Mathematik wird eine Teilmenge T eines reellen oder komplexen Vektorraumes V absorbierend genannt, wenn es zu jedem Vektor x in V eine strikt positive reelle Zahl r gibt, so dass r x ein Element von T ist.
Die Bezeichnung rührt daher, dass obige Definition äquivalent zu der folgenden ist: Für alle x in V gibt es r > 0 so dass x ein Element von r T ist. (Es genügt offenbar, obiges r > 0 durch 1/r zu ersetzen.) Das heißt, die Menge T kann durch skalare Multiplikation so "aufgeblasen" werden, dass sie jeden beliebigen Vektor enthalten, d.h. "absorbieren" kann.
Diese zweite Formulierung scheint auf den ersten Blick natürlicher. Die erstgenannte Definition wird jedoch bevorzugt, da sie sich auf natürliche Weise auf die Definition einer beschränkten Menge eines topologischen Moduls übertragen lässt (nämlich, eine Menge die von jeder Nullumgebung absorbiert wird). Wegen der möglichen Existenz von Nullteilern und der möglichen nicht-Existenz von beschränkten Nullumgebungen, ist in diesem Fall eine Definition im Sinne der zweiten Formulierung nicht sinnvoll.
[Bearbeiten] Einfache Konsequenzen
Da r strikt positiv gefordert wird, muss T den Nullvektor enthalten.
In einem topologischen Vektorraum (z.B. in einem normierten Raum) ist jede Nullumgebung U absorbierend, denn ist x ein Vektor in V, so ist 
, d.h. 
für hinreichend große n.
[Bearbeiten] Literatur
- K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematiks 56, 1968
- R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992
