Absorbierendes Element

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Ein absorbierendes Element ist ein spezielles Element einer algebraischen Struktur.

Definition[Bearbeiten]

Es sei A die Trägermenge einer algebraischer Struktur mit einer zweistelligen Verknüpfung *. Ein Element o_l \in A heißt linksabsorbierend (bezüglich *), wenn für alle a \in A gilt:

o_l*a = o_l.

Analog heißt ein Element o_r \in A rechtsabsorbierend (bezüglich *), wenn für alle a \in A gilt:

a*o_r = o_r.

Ein Element, das sowohl links- als auch rechtsabsorbierend ist (bezüglich *), nennt man absorbierend (bezüglich *), manchmal auch Nullelement (so wird aber häufig auch das neutrale Element einer (additiv notierten) Gruppe genannt!).

Eigenschaften[Bearbeiten]

Zu einer zweistelligen Verknüpfung * auf einer Menge A gibt es höchstens ein absorbierendes Element o \in A, denn für absorbierende Elemente o,o' \in A gilt:

o' = o'*o = o.

Ein links- oder rechts-absorbierendes Element o \in A ist immer idempotent:

o = o*o.

In einer Quasigruppe (und damit auch in einer Gruppe) (A,*) mit mindestens zwei Elementen a,b \in A mit a \ne b gibt es kein (links-/rechts-)absorbierendes Element o \in A, denn sonst hätte o*x=o bzw. x*o=o mindestens die zwei Lösungen a,b, wäre somit nicht, wie für Quasigruppen gefordert, eindeutig lösbar.

Beispiele[Bearbeiten]

Ein bekanntes Beispiel ist die Null, die im Ring der ganzen Zahlen bezüglich der Multiplikation absorbierendes Element ist: jede Zahl mit Null multipliziert ergibt Null.

In jedem beschränkten Verband gibt es zu beiden Verknüpfungen ein absorbierendes Element: Beispielsweise ist in der Aussagenlogik die wahre Aussage bezüglich der Verknüpfung mit „oder“ absorbierendes Element, die falsche Aussage ist bezüglich der Verknüpfung mit „und“ absorbierendes Element.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • U. Hebisch; H. J. Weinert: Halbringe - Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik. Teubner, Stuttgart 1993. ISBN 3-519-02091-2.