Abzählbarkeitsaxiom

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie gibt es zwei Endlichkeitsbedingungen an die betrachteten Räume, die als erstes bzw. zweites Abzählbarkeitsaxiom bezeichnet werden. Räume, die ein Abzählbarkeitsaxiom erfüllen, können aus topologischer Sicht als „klein“ gelten.

Erstes Abzählbarkeitsaxiom

Das erste Abzählbarkeitsaxiom besagt:

Jeder Punkt hat eine höchstens abzählbare Umgebungsbasis.

Das bedeutet: Ist $X$ ein topologischer Raum und $x\in X$ ein Punkt, so gibt es eine höchstens abzählbare Menge $\{U_1,U_2,\ldots\}$ von Umgebungen von $x$, so dass es zu jeder Umgebung $V$ von $x$ einen Index $k$ gibt, so dass $U_k\subseteq V$ gilt.

Eigenschaften

Das erste Abzählbarkeitsaxiom ist eine lokale Forderung, d.h. ist $\{V_i\}$ eine offene Überdeckung von $X$, so dass die Räume $V_i$ mit der Teilraumtopologie das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllen, dann gilt das erste Abzählbarkeitsaxiom auch für $X$.

Konvergente Folgen sind in Räumen, die das erste Abzählbarkeitsaxiom nicht erfüllen, sehr viel weniger nützlich. Beispielsweise ist in derartigen Räumen ein Punkt des Abschlusses einer Teilmenge $U$ nicht notwendigerweise Grenzwert einer Folge von Elementen aus $U$. Um abgeschlossene Mengen durch Grenzwerte zu beschreiben, müssen in solchen Räumen Moore-Smith-Folgen (Netze) betrachtet werden.

Zweites Abzählbarkeitsaxiom

Das zweite Abzählbarkeitsaxiom besagt:

Der Raum hat eine höchstens abzählbare Basis der Topologie.

Das bedeutet: Ist $X$ ein topologischer Raum, so gibt es eine höchstens abzählbare Menge $B=\{U_1,U_2,\ldots\}$ von offenen Teilmengen, die zu jedem Punkt eine Umgebungsbasis enthält, d.h. zu jedem Punkt $x\in X$ und jeder Umgebung $V$ von $x$ gibt es einen Index $k$, so dass $x\in U_k\subseteq V$ gilt.

Eigenschaften

Das zweite Abzählbarkeitsaxiom impliziert das erste. In einem topologischen Raum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, kann jede offene Menge O als (höchstens abzählbare) Vereinigung von Mengen aus der Basis B dargestellt werden.

Beispiele

• Jeder metrische Raum erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom, da zu einem Punkt x die ε-Umgebungen mit $\varepsilon=1,1/2,1/3,\ldots$ eine abzählbare Umgebungsbasis bilden.
• Die Menge der reellen Zahlen und alle endlichdimensionalen reellen Vektorräume mit ihrer üblichen Topologie (als normierte Räume) erfüllen beide Abzählbarkeitsaxiome, eine abzählbare Basis der Topologie bilden zum Beispiel die Kugeln mit rationalen Mittelpunktskoordinaten und rationalem Durchmesser.
• Da die diskrete Topologie von einer Metrik induziert ist, erfüllt jeder diskrete Raum das erste Abzählbarkeitsaxiom. Eine überabzählbare Menge versehen mit der diskreten Topologie erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom nicht.
• Ein topologischer Raum X mit der indiskreten Topologie erfüllt beide Abzählbarkeitsaxiome.

Siehe auch

• Kompakter Raum
• Parakompakter Raum
• Separabler Raum
• Axiom

Weblinks

• Planetmath (englisch) zum Stichwort First Axiom of Countability (1. Abzählbarkeitsaxiom).
• Planetmath (englisch) zum Stichwort Second Axiom of Countability (2. Abzählbarkeitsaxiom).

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (Springer-Lehrbuch).

(Eine Zusammenfassung und Leserkommentare zu diesem Buch finden sich bei Matheplanet.com.)

Quelle

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 2. neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1979, ISBN 3-540-09799-6 (Hochschultext).