Ackermann-Mengenlehre

Die Ackermann-Mengenlehre ist eine axiomatische Mengenlehre, die 1955 von Wilhelm Ackermann angegeben wurde. Er versuchte in ihr, Cantors Mengendefinition in ein präzises Axiomensystem umzusetzen.

Die Ackermann-Mengenlehre erweitert die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZFC um Klassen (dort: Gesamtheiten), unterscheidet sich aber von der bekannteren Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre dadurch, dass echte Klassen auch Elemente anderer Klassen sein können und es daher auch kleine echte Klassen gibt. Die ZFC-Axiome gelten dort nur in einem echten Teilbereich, der das Fundierungsaxiom erfüllt (man kann ihn mit Neumanns kumulativer Hierarchie aussondern). Die Ackermann-Mengenlehre enthält daher einen erweiterten Mengenbereich mit nicht-fundierten Mengen und kann als Verallgemeinerung der üblichen ZFC-Mengenlehre und der Zermelo-Mengenlehre angesehen werden.

Die Ackermann-Axiome

Ackermanns Axiomensystem beruht auf der Prädikatenlogik erster Stufe mit Identität, der zweistelligen Elementrelation $\in$ und dem einstelligen Prädikat $\,\text{ist Menge}$ und hat je ein Axiomenschema und ein Axiom für Klassen und für Mengen:

• Klassen-Komprehension: Klassen von Mengen sind existent:

Für einstellige Prädikate $\varphi$ gilt:

$\forall A\colon (\varphi(A)\to A\text{ ist Menge})\to\exists B\colon \forall C\colon (C\in B\leftrightarrow \varphi(C))$

Die Klasse $\,B$ wird mit $\{C\mid\varphi(C)\}$ bezeichnet.

• Klassen-Extensionalität: Klassen mit denselben Elementen sind gleich:

$\forall C\colon (C\in A\leftrightarrow C\in B)\to A=B.$

• Mengen-Komprehension: Ausschließlich mit Mengen belegte Klassen von Mengen sind Mengen:

Für Formeln $\varphi$, in der genau die Variablen $A, T_1, \ldots, T_n$ frei vorkommen und in der das Prädikat $\,\text{ist Menge}$ nicht vorkommt, gilt:

$T_1\text{ ist Menge }\and\dots\and\; T_n\text{ ist Menge }\and\; \forall A\colon (\varphi(A)\to A\text{ ist Menge})\to \exists B\colon (B\text{ ist Menge }\and\; \forall A\colon (A\in B\leftrightarrow\varphi(A)))$

• Elemente und Teilklassen von Mengen sind Mengen:

$A\text{ ist Menge }\and(B\in A\or\forall C\colon (C\in B\to C\in A))\to B\text{ ist Menge}$

Nota bene: Dieses Axiom schließt aus, dass echte Klassen Mengenelemente sind, jedoch nicht, dass echte Klassen Elemente echter Klassen sind.

Varianten

Das Auswahlaxiom ist in obiger Liste nicht enthalten. Durch Hinzunahme erhält man die Ackermann-Mengenlehre mit Auswahlaxiom, das er selbst in einer Formulierung mit Hilberts Auswahloperator hinzufügte.

Ackermann formulierte in seiner Arbeit auch eine Variante seines Axiomensystems, die Urelemente berücksichtigt, sowie eine an die Typentheorie angelehnte Version.

Literatur

• Wilhelm Ackermann: Zur Axiomatik der Mengenlehre, 1955, in: Mathematische Annalen 131 (1956), S. 336-345.

Weblinks

• Klaus Gloede: Mengenlehre-Skript WS 2000/01, Kapitel zur Ackermann-Mengenlehre