Adelring

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Der Adelring wird in der Mathematik im Zusammenhang der Klassenkörpertheorie definiert und ermöglicht eine besonders elegante Darstellung des Artinschen Reziprozitätsgesetzes.

Ist K ein globaler Körper, also entweder ein algebraischer Zahlkörper oder ein algebraischer Funktionenkörper über einem endlichen Körper, so besteht der Adelring  {\Bbb A_K} aus allen Elementen (x_v)_{v\in X}\in \Pi_{v\in X}K_v, bei denen fast alle Komponenten ganz sind (eine nicht-negative Bewertung haben). Dabei sind X die Menge der Bewertungen von K und K_v die Komplettierungen von K bezüglich der Bewertungen v\in X. Mit einer bestimmten Vergröberung der Produkttopologie (fast alle Komponenten gleich K_v) wird der Adelring zu einem lokalkompakten topologischen Ring (d.h. die Verknüpfungen sind stetige Abbildungen). Die Gruppe der Einheiten ist die Idelgruppe. Diese trägt die Teilraumtopologie der Produkttopologie.

Die Einheiten des Adelringes bilden die Idelgruppe.

Explizite Konstruktion[Bearbeiten]

Sei, die pro-endliche Komplettierung der ganzen Zahlen, d.h. der inverse Limes der Ringe Z/nZ:

 \hat{\mathbb{Z}} = \varprojlim \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.

Aus dem Chinesischen Restsatz folgt der Isomorphismus

 \hat{\mathbb{Z}} = \prod_{p} \mathbb{Z}_p

mit dem Produkt der Ringe der p-adischen Zahlen.

Der Ring der ganzzahligen Adele AZ ist das Produkt

  \mathbb{A}_\mathbb{Z} = \mathbb{R} \times \hat{\mathbb{Z}}.

Der Ring der (rationalen) Adele AQ ist das Tensorprodukt

  \mathbb{A}_\mathbb{Q} =\mathbb{Q}\otimes_\mathbb Z \mathbb{A}_\mathbb{Z} .

Für einen algebraischen Zahlkörper F ist AF definiert als

  \mathbb{A}_F =F\otimes_\mathbb Z \mathbb{A}_\mathbb{Z}

Die Bijektion mit dem Produkt von \deg(F) Kopien von AQ erlaubt die Definition der Produkttopologie.

Die invertierbaren Elemente im Adelring werden als Idele bezeichnet.

Anwendungen[Bearbeiten]

Verallgemeinerungen des Artinschen Reziprozitätsgesetzes führen zu den Zusammenhängen von automorphen Darstellungen (spezielle Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppe \mathrm{GL}_2(\Bbb A_K)) und Galoisdarstellungen von K (Langlands-Programm).