Adjungierter Operator

In der Funktionalanalysis kann zu jedem dicht definierten linearen Operator $T$ ein adjungierter Operator (manchmal auch dualer Operator) $T^{*}$ definiert werden.

Lineare Operatoren können zwischen zwei Vektorräumen mit gemeinsamem Grundkörper $K$ ($K=\mathbb C$ oder $K=\R$) definiert werden, adjungierte Operatoren werden allerdings häufig nur auf Hilberträumen betrachtet, also beispielsweise (endlichdimensionalen) euklidischen Räumen. Auf endlichdimensionalen Räumen entspricht der adjungierte Operator der adjungierten Matrix. In der Matrizenrechnung mit reellen Einträgen entspricht die Bildung des adjungierten Operators dem Transponieren, bei komplexen Einträgen dem (komplex) Konjugieren und Transponieren der Ausgangsmatrix. In der Physik und bei den Ingenieuren wird daher, in Analogie zur Matrixtheorie, der adjungierte Operator in der Regel nicht mit $T^\ast\,,$ sondern mit $T^\dagger$ bezeichnet.

Adjungierter Operator

Definition

Seien $X$ und $Y$ Hilberträume. Mit $D(T)$ wird der Definitionsbereich des linearen Operators $T$ bezeichnet. Die Operatoren $T: D(T) \subset X\rightarrow Y$ und $S: D(S)\subset Y\rightarrow X$ heißen zueinander formal adjungiert, falls

$\langle y, Tx\rangle_Y = \langle Sy, x\rangle_X$

für alle $x\in D(T)$ und $y\in D(S)$ gilt. Unter diesen Voraussetzungen ist $S$ im Allgemeinen nicht eindeutig durch $T$ gegeben. Ist $T$ dicht definiert, so existiert ein zu $T$ maximaler, formal adjungierter Operator $T^*$. $T^*$ nennt man den adjungierten Operator von $T$.

Eigenschaften adjungierter Operatoren

Sei $T: X\supset D(T)\rightarrow Y$ dicht definiert. Dann gilt:

• Ist $D(T^*)$ dicht, so ist $T\subset T^{**}$, d. h. $D(T)\subset D(T^{**})$ und $T=T^{**}$ auf $D(T)$
• $\operatorname{Ker} (T^*)=\operatorname{Ran}(T)^\bot$. Dabei steht Ker für den Kern des Operators und Ran (für Range) für den Bildraum.
• $T$ ist genau dann beschränkt, wenn $T^*$ beschränkt ist. In diesem Fall gilt $\|T\|=\|T^*\|$
• Ist $T$ beschränkt, so ist $T^{**}$ die eindeutige Fortsetzung von $T$ auf $X$

Sei $S:X\supset D(S)\rightarrow Y$ dicht definiert. Der Operator $T+S$ ist definiert durch $(T+S)x:=Tx+Sx$ für $x\in D(T+S):=D(T)\cap D(S)$. Ist $T+S$ dicht definiert, so ist $(T+S)^*\supset T^*+S^*$. Ist $T$ beschränkt, so gilt sogar die Gleichheit.

Seien $Z$ ein Hilbertraum und $S:Y\supset D(S)\rightarrow Z$. Dann wird die Hintereinanderausführung bzw. Komposition $TS$ von $T$ und $S$ definiert durch $TSx:=T(Sx)$ für $x\in D(TS):=\{x\in D(S): Sx\in D(T)\}$. Ist $TS$ dicht definiert, so gilt $(TS)^*\supset S^*T^*$. Ist $T$ beschränkt, erhält man $(TS)^*= S^*T^*$.

Konstruktion für beschränkte Operatoren

Zur Vereinfachung kann der Bild- und Definitionsraum als gleich angenommen werden.

Beschränkte Operatoren können auf dem gesamten Hilbertraum $X$ definiert werden. In diesem Fall ist für jedes $y \in X$ die Funktion $f(\cdot) = \langle T\cdot,y \rangle$ ein auf dem ganzen Hilbertraum definiertes, lineares stetiges Funktional, da aus der Beschränktheit des auf ganz $X$ definierten linearen Operators T die Stetigkeit von $f$ folgt.

Der Darstellungssatz von Riesz liefert für jedes stetige lineare Funktional $f$ ein eindeutig bestimmtes Element $z \in X$, sodass $f(x) = \langle x,z\rangle$ für alle $x \in X$. Also existiert für jedes $y \in X$ genau ein Element $z \in X$ mit $\langle Tx,y \rangle = \langle x,z \rangle$. Nun setzt man $T^*y:=z$. Diese Konstruktion ist äquivalent zu obiger Definition.

Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren

Ein linearer Operator $T: X\supset D(T)\rightarrow X$ heißt

• symmetrisch oder formal selbstadjungiert, falls $\langle Tx,y\rangle = \langle x,T y\rangle$ für alle $x,y \in D(T)$ gilt.
• wesentlich selbstadjungiert, falls $T$ symmetrisch, dicht definiert und seine Abschließung selbstadjungiert ist.
• selbstadjungiert, falls $T$ dicht definiert und $T=T^*$ gilt.

Außerdem gibt es noch den Begriff des hermiteschen Operators. Dieser wird vor allem in der Physik verwendet, jedoch nicht einheitlich definiert. Meist wird das Objekt wie ein wesentlich selbstadjungierter Operator verwendet.

Verallgemeinerung auf Banachräume

Adjungierte Operatoren können auch allgemeiner auf Banachräumen definiert werden. Für einen Banachraum $X$ bezeichnet $X'$ den topologischen Dualraum. Im Folgenden wird die Schreibweise $\langle x,x'\rangle:=x'(x)$ für $x\in X$ und $x'\in X'$ benutzt.   Seien $X$ und $Y$ Banachräume und sei $T:X\rightarrow Y$ ein stetiger, linearer Operator. Der adjungierte Operator

$T' : Y' \to X'$

wird definiert durch

$y' \mapsto (T'y')(x) := y'(Tx)$

für alle $x \in X$ definiert. Um diesen adjungierten Operator von den adjungierten Operatoren auf Hilberträumen zu unterscheiden, werden diese oft mit einem $'$ statt mit einem $*$ notiert.

Ist der Operator $T : D(T) \subset X \to Y$ jedoch nicht stetig aber dicht definiert, so definiert man den adjungierten Operator

$T' : D(T') \subset Y' \to X'$

durch

$\begin{align} D(T'):=& \{y'\in Y': \exists\,x'\in X': \langle Tx,y'\rangle = \langle x,x'\rangle\ \forall\,x\in D(T)\}\\ T'y':=& x'\ \text{für}\ x \in D(T) \end{align}.$

Der Operator $T'$ ist stets abgeschlossen, wobei $D(T')=\{0\}$ möglich ist. Ist $X$ ein reflexiver Banachraum und $Y=X$, dann ist $T'$ genau dann dicht definiert, wenn $T$ abschließbar ist. Insbesondere gilt dann $(T')'=\overline T$.

Abweichende Konventionen

Die Physiker, beispielsweise, haben es überwiegend mit komplexen Räumen zu tun und benutzen deshalb - wie bei komplexen Matrizen - für den dualen Operator nicht die Bezeichnung $T^*\,,$ sondern $T^\dagger$ (Transposition und Übergang zum Konjugiert-Komplexen), während die Bezeichnung $\,T^*$ für die konjugiert-komplexe Matrix $\overline{T}$ vorbehalten wird, da bei Physikern das Querstrich-Symbol für die Mittelwertbildung reserviert ist. Ferner wird anstelle des Begriffs „symmetrischer Operator“ gegebenenfalls der Begriff „hermitische Matrix“ benutzt.

Siehe auch

• Satz vom abgeschlossenen Bild
• Satz von Hellinger-Toeplitz

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6