Adjunktion

Das Wort Adjunktion (lat. adiunctio 'Anknüpfung', 'Hinzufügung', 'vereinigende Verknüpfung') wird in der Mathematik in verschiedenen Zusammenhängen benutzt:

• Die älteste mathematische Verwendung ist die wörtliche in der Logik: 'adiunctio', also Hinzufügung bzw. vereinende Verknüpfung als Bezeichnung für Operationen, in denen eine Aussage(nbedingung) oder Menge einer anderen hinzugefügt wird. Wir nennen dies heute Vereinigung (in der Mengenlehre) bzw. (nicht-ausschließende) Oder-Verknüpfung (in der Logik); nicht zufällig ähneln sich die Symbole beider Operationen.
• In der linearen Algebra heißt ein Endomorphismus $g$ eines $K$-Vektorraums $W$ adjungiert zu einem Endomorphismus $f$ eines $K$-Vektorraums $V$ bezüglich einer Paarung $\langle\_,\_\rangle: V \times W \rightarrow K$, falls für alle $v$ in $V$ und alle $w$ in $W$ gilt:

$\langle f(v),w\rangle =\langle v,g(w)\rangle$.

Auf diesem Grundprinzip basieren auch die Begriffe adjungierte Matrix in der linearen Algebra und adjungierter Operator in der Funktionalanalysis.

• In der Kategorientheorie heißen Paare $(F: C \rightarrow D, G: D \rightarrow C)$ von Funktoren zwischen Kategorien $C$ und $D$ adjungiert, wenn für alle Objekte $X$ von $C$ und $Y$ von $D$ gilt:

$Mor_D ( FX, Y ) = Mor_C ( X, GY )$.

siehe auch: Adjunktion (Kategorientheorie)

• Nicht mit den ersten beiden genannten Begriffen verwandt ist die Adjunktion von Unbestimmten zu einem Körper oder Ring, siehe Adjunktion (Algebra).
• Die Adjunktion eines Einselementes ist ein Verfahren, einen Ring oder eine Algebra ohne Einselement in einen Ring bzw. eine Algebra mit Einselement einzubetten.
• In der Theorie der Lie-Gruppen bzw. algebraischen Gruppen nennt man die Konjugationsdarstellung der Gruppe auf ihrer Liealgebra die adjungierte Darstellung.
• In der Theorie der Lie-Algebren ist die adjungierte Darstellung die Darstellung der Liealgebra auf sich selbst, die durch die Lieklammer gegeben ist.
• In der Theorie der linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen bezeichnet $y'=-A(x)^Ty$ die zu $y'=A(x)y$ adjungierte Differentialgleichung.
• In der Aussagenlogik ist die Adjunktion als Aussagenverknüpfung eine einschließende "Oder-Verknüpfung", siehe Disjunktion.