Airy-Funktion

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Dieser Artikel beschreibt eine spezielle Funktion. Für die Formel, die die Transmission von elektromagnetischer Strahlung beschreibt siehe Airy-Formel.

Die Airy-Funktion \operatorname{Ai}(x) bezeichnet eine spezielle Funktion in der Mathematik. Die Funktion \operatorname{Ai}(x) und die verwandte Funktion \operatorname{Bi}(x), die ebenfalls Airy-Funktion genannt wird, sind Lösungen der linearen Differentialgleichung

\ y'' - xy = 0\ ,

auch bekannt als Airy-Gleichung. Sie beschreibt unter anderem die Lösung der Schrödinger-Gleichung für einen linearen Potentialtopf.

Die Airy-Funktion ist nach dem britischen Astronomen George Biddell Airy benannt, der diese Funktion in seinen Arbeiten in der Optik verwendete (Airy 1838). Die Bezeichnung \operatorname{Ai}(x) wurde von Harold Jeffreys eingeführt.

Definition[Bearbeiten]

Airy plot.svg

Für reelle Werte x ist die Airy-Funktion als Integral definiert:

\mathrm{Ai}(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^\infty \cos\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\, {\rm d}t\ .

Die zweite, linear unabhängige Lösung der Differentialgleichung ist die Airy-Funktion zweiter Art Bi(x):

\mathrm{Bi}(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^\infty \left(\exp\left(-\frac{t^3}{3} + xt\right) + \sin\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\right)\, {\rm d}t\ .

Eigenschaften[Bearbeiten]

Asymptotisches Verhalten[Bearbeiten]

Für x gegen +\infty lassen sich \mathrm{Ai}(x) und \mathrm{Bi}(x) mit Hilfe der WKB-Näherung approximieren:

\begin{align}
 \mathrm{Ai}(x) &{}\simeq \frac{e^{-\frac23x^{3/2}}}{2\sqrt\pi\,x^{1/4}} \\
 \mathrm{Bi}(x) &{}\simeq \frac{e^{\frac23x^{3/2}}}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}.
\end{align}

Für x gegen -\infty gelten die Beziehungen:

\begin{align}
 \mathrm{Ai}(x) &{}\simeq \frac{\sin(\frac23(-x)^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,(-x)^{1/4}} \\
 \mathrm{Bi}(x) &{}\simeq \frac{\cos(\frac23(-x)^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,(-x)^{1/4}}. 
\end{align}

Nullstellen[Bearbeiten]

Die Airy-Funktionen haben nur Nullstellen auf der negativen reellen Achse.[1] Die ungefähre Lage folgt aus dem asymptotischen Verhalten für x→-∞ zu


\operatorname{Ai}(x)=0
\quad\Rightarrow\quad
x \approx -\bigl(\textstyle\frac32\pi (n - \frac14)\bigr)^{2/3}
,\quad
n \in \N

\operatorname{Bi}(x)=0
\quad\Rightarrow\quad
x \approx -\bigl(\textstyle\frac32\pi (n - \frac34)\bigr)^{2/3}
,\quad
n \in \N

Spezielle Werte[Bearbeiten]

Die Airy-Funktionen und ihre Ableitungen haben für x=0 die folgenden Werte:

\begin{align}
 \mathrm{Ai}(0) &{}= \frac{1}{\sqrt[3]{9}\cdot \Gamma(\frac23)}, & \quad \mathrm{Ai}'(0) &{}= -\frac{1}{\sqrt[3]{3}\cdot\Gamma(\frac13)}, \\
 \mathrm{Bi}(0) &{}= \frac{1}{\sqrt[6]{3}\cdot\Gamma(\frac23)}, & \quad \mathrm{Bi}'(0) &{}= \frac{\sqrt[6]{3}}{\Gamma(\frac13)}.
\end{align}

Hierbei bezeichnet Γ die Gammafunktion. Es folgt, dass die Wronski-Determinante von \mathrm{Ai}(x) und \mathrm{Bi}(x) gleich \tfrac1\pi ist.

Fourier-Transformierte[Bearbeiten]

Direkt aus der Definition der Airy-Funktion \operatorname{Ai}(x) (siehe oben) folgt deren Fourier-Transformierte.


\mathcal{F}(\operatorname{Ai})(k) := \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{Ai}(x)\ \mathrm{e}^{- 2\pi \mathrm{i} k x}\,dx =
\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{3}(2\pi k)^3}\,.

Man beachte die hier verwendete symmetrische Variante der Fourier-Transformation.

Weitere Darstellungen[Bearbeiten]

\mathrm{Ai}(z)=\frac1{3^{2/3}\cdot \Gamma (\tfrac23)}\cdot \, {}_0F_1 \left(0;\tfrac23;\tfrac19z^3\right) -  
\frac{z}{3^{1/3}\cdot \Gamma (\tfrac13)}\cdot \, {}_0F_1 \left(0;\tfrac43;\tfrac19z^3\right)
\mathrm{Bi}(z)=\frac1{3^{1/6}\cdot \Gamma (\tfrac23)}\cdot \, {}_0F_1 \left(0;\tfrac23;\tfrac19z^3\right) +  
\frac{3^{1/6}\cdot z}{\Gamma (\tfrac13)}\cdot \, {}_0F_1 \left(0;\tfrac43;\tfrac19z^3\right)
\mathrm{Ai}(x)=\frac13\sqrt{x}\left[ I_{-1/3} \left(\frac23x^{3/2}\right) - I_{1/3} \left(\frac23x^{3/2}\right)\right]
\mathrm{Ai}(x)=\sqrt{\frac x3}\left[ I_{-1/3} \left(\frac23x^{3/2}\right) + I_{1/3} \left(\frac23x^{3/2}\right)\right]
  • Eine andere unendliche Integraldarstellung für Ai lautet
\mathrm{Ai}(z)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty \exp\left(\mathrm i\cdot \left(zt+\frac{t^3}3\right)\right) \mathrm dt
  • Es gibt die Reihendarstellungen[2]
\mathrm{Ai}(z)=\frac1{3^{2/3}\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma\left(\frac13(n+1)\right)}{n!}\left(3^{1/3}z\right)^n \sin\left(\frac{2(n+1)\pi}{3}\right)
\mathrm{Bi}(z)=\frac1{3^{1/6}\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma\left(\frac13(n+1)\right)}{n!}\left(3^{1/3}z\right)^n \left|\sin\left(\frac{2(n+1)\pi}{3}\right)\right|

Komplexe Argumente[Bearbeiten]

Ai(x) und Bi(x) sind ganze Funktionen. Sie lassen sich also auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortsetzen.

\Re \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right] \Im \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right] | \mathrm{Ai} ( x + iy) | \, \mathrm{arg} \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right] \,
AiryAi Real Surface.png AiryAi Imag Surface.png AiryAi Abs Surface.png AiryAi Arg Surface.png
AiryAi Real Contour.svg AiryAi Imag Contour.svg AiryAi Abs Contour.svg AiryAi Arg Contour.svg


\Re \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right] \Im \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right] | \mathrm{Bi} ( x + iy) | \, \mathrm{arg} \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right] \,
AiryBi Real Surface.png AiryBi Imag Surface.png AiryBi Abs Surface.png AiryBi Arg Surface.png
AiryBi Real Contour.svg AiryBi Imag Contour.svg AiryBi Abs Contour.svg AiryBi Arg Contour.svg

Verwandte Funktionen[Bearbeiten]

Airy-Zeta-Funktion[Bearbeiten]

Zu der Airy-Funktion lässt sich analog zu den anderen Zeta-Funktionen die Airysche Zeta-Funktion definieren als[3]

Z(n)=\sum_r \frac1{r^n},

wobei die Summe über die reellen (negativen) Nullstellen von Ai geht.

Scorersche Funktionen[Bearbeiten]

Manchmal werden auch die beiden weiteren Funktionen \mathrm{Gi}(x) und \mathrm{Hi}(x) zu den Airy-Funktionen dazugerechnet. Die Integral-Definitionen lauteten[4]

\mathrm{Gi}(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^\infty \sin\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\,\mathrm dt
\mathrm{Hi}(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^\infty \exp\left(-\frac{t^3}{3} + xt\right)\,\mathrm dt

Sie lassen sich auch durch die Funktionen Ai und Bi darstellen.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Airy-Funktion – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Airy Function Zeros. In: MathWorld (englisch).
  2. C. Banderier, P. Flajolet, G. Schaeffer, M. Soria: Planar Maps and Airy Phenomena. In Automata, Languages and Programming. Proceedings of the 27th International Colloquium (ICALP 2000) held at the University of Geneva, Geneva, 9.-15. Juli 2000 (Ed. U. Montanari, J. D. P. Rolim, E. Welzl). Berlin: Springer, S. 388-402, 2000
  3. Eric W. Weisstein: Airy Zeta Function. In: MathWorld (englisch).
  4. Milton Abramowitz und Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1954, Seite 447