Aleph-Funktion

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Die Aleph-Funktion, benannt nach dem ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets und auch als \aleph geschrieben, ist eine in der Mengenlehre, genauer in der Theorie der Kardinalzahlen, verwendete Aufzählung aller unendlichen Kardinalzahlen.

Definition[Bearbeiten]

Die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen ist unter Verwendung des Auswahlaxioms in der Klasse On der Ordinalzahlen enthalten, wobei jede Kardinalzahl \kappa mit der kleinsten zu \kappa gleichmächtigen Ordinalzahl identifiziert wird. Ferner ist das Supremum einer Menge von Kardinalzahlen stets wieder eine Kardinalzahl. Daher gibt es genau einen Ordnungsisomorphismus \aleph von On auf die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen. Den Wert von \aleph an der Stelle \alpha bezeichnet man mit \aleph_\alpha, das heißt \aleph_\alpha ist die \alpha-te unendliche Kardinalzahl.

Die Aleph-Funktion lässt sich rekursiv wie folgt definieren:

  • \aleph_0 = kleinste unendliche Ordinalzahl und damit auch kleinste unendliche Kardinalzahl,
  • \aleph_{\alpha+1} = kleinste Kardinalzahl, die größer als \aleph_\alpha ist,
  • \aleph_\alpha = \sup \{\aleph_\beta;\, \beta < \alpha\} für Limes-Ordinalzahlen \alpha.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die kleinste unendliche Kardinalzahl ist \aleph_0, die Kardinalität der abzählbaren Mengen. Die Nachfolger-Kardinalzahl, das heißt die kleinste Kardinalzahl größer als \aleph_0, ist \aleph_1, und so weiter. Die Frage, ob \aleph_1 gleich der Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen ist, ist als Kontinuumshypothese bekannt.

Allgemein ist \aleph_\alpha eine Nachfolger-Kardinalzahl, falls \alpha eine Nachfolger-Ordinalzahl ist, anderenfalls eine Limes-Kardinalzahl.

Üblicherweise bezeichnet \omega die kleinste unendliche Ordinalzahl. Diese ist gleich \aleph_0, aber als Index für die Aleph-Funktion verwendet man lieber die Ordinalzahl-Schreibweise. \aleph_\omega ist damit die kleinste Limes-Kardinalzahl und kann als \bigcup\{\aleph_n;\, n < \omega\} geschrieben werden.

Es gilt stets \alpha \le \aleph_\alpha für alle Ordinalzahlen \alpha. Man kann zeigen, dass es Fixpunkte geben muss, das heißt solche Ordinalzahlen \alpha, für die \alpha = \aleph_\alpha gilt. Der kleinste Fixpunkt ist der Limes (= die Vereinigung) der Folge \aleph_0, \aleph_{\aleph_0}, \aleph_{\aleph_{\aleph_0}}, \ldots. Schwach unerreichbare Kardinalzahlen sind Fixpunkte der Aleph-Funktion.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Georg Cantor: Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. Arbeiten zur Mengenlehre aus dem Jahren 1872–1884 (= Teubner-Archiv zur Mathematik. Bd. 2, ISSN 0233-0962). Herausgegeben und kommentiert von G. Asser. Teubner, Leipzig, 1884.
  • Thomas Jech: Set Theory. 3. millenium edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2.