Algebra über einem Körper

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Eine Algebra über einem Körper K, Algebra über K oder K-Algebra (früher auch als lineare Algebra bezeichnet)[1] ist ein Vektorraum über einem Körper K, der um eine mit der Vektorraumstruktur verträgliche Multiplikation erweitert wurde.

Definition[Bearbeiten]

Eine Algebra A über einem Körper K oder kurz K-Algebra ist ein K-Vektorraum mit einer K-bilinearen Verknüpfung

 A\times A\to A,

Multiplikation genannt, die durch x\cdot y oder xy symbolisiert wird. (Diese Verknüpfung ist unabhängig von der Multiplikation im Körper und derjenigen von Körperelementen mit Vektoren; die Verwendung desselben Symbols führt jedoch nicht zu Verwechslungen, da aus dem Kontext hervorgeht, welche Verknüpfung gemeint ist.)

Explizit bedeutet die Bilinearität, dass für alle Elemente x, y, z \in A und alle Skalare \lambda \in K gilt:

  •  (x+y)\cdot z = xz + yz
  •  x\cdot(y+z) = xy + xz
  •  \lambda\cdot(xy) = (\lambda x)\cdot y = x\cdot (\lambda y)

Ist der zugrundeliegende Körper der Körper der reellen Zahlen \R, so nennt man die Algebra auch reelle Algebra.[2]

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Allgemeiner kann K ein kommutativer Ring sein, dann ist „Vektorraum“ durch „Modul“ zu ersetzen, und man erhält eine Algebra über einem kommutativen Ring.

Unteralgebren und Ideale[Bearbeiten]

Eine Unteralgebra U einer Algebra A über einem Körper K ist ein Unterraum von A, der neben der Addition und der Multiplikation mit einem Skalar, also einem Element von K, auch unter der in A definierten Multiplikation abgeschlossen ist, d.h. u, v \in U \Rightarrow uv \in U. Dann ist U eine eigenständige Algebra. Fasst man die komplexen Zahlen als reelle Algebra auf, so bilden zum Beispiel die reellen, nicht aber die imaginären Zahlen eine Unteralgebra der komplexen Zahlen.

Ist darüber hinaus

v \in U \Rightarrow av \in U

mit einem beliebigen Element a von A, so heißt U ein linksseitiges Ideal von A. Entsprechend heißt U, falls

v \in U \Rightarrow va \in U

rechtsseitiges Ideal von A ist. Ist beides der Fall oder gar A kommutativ, so heißt U einfach ein Ideal von A. Falls die Algebra A keine Ideale besitzt, heißt sie einfach.

Weitere Attribute und Beispiele[Bearbeiten]

Assoziative Algebren[Bearbeiten]

Eine assoziative Algebra ist eine K-Algebra, in der für die Multiplikation das Assoziativgesetz gilt und die somit ein Ring ist. Beispiele:

 (f\cdot g)(x) := f(x)\cdot g(x),\qquad f,g\colon M\to K, x\in M

Funktionenalgebren sind assoziativ, weil die zugrunde liegende Körpermultiplikation assoziativ ist.

  • Eine Körpererweiterung von K ist eine assoziative Algebra über K. So ist z.B. \R eine \Q-Algebra und \C kann als \Q-Algebra oder als \R-Algebra betrachtet werden.

Kommutative Algebren[Bearbeiten]

Eine kommutative Algebra ist eine K-Algebra, in der für die Multiplikation das Kommutativgesetz gilt. Beispiele:

  • Im mathematischen Teilgebiet Kommutative Algebra werden Algebren betrachtet, die assoziativ und kommutativ sind. Dazu gehören die oben genannten Polynomalgebren, die Funktionenalgebren und die Körpererweiterungen.
  • Genetische Algebren sind kommutative Algebren mit einigen zusätzlichen Eigenschaften, in denen das Assoziativgesetz im Allgemeinen nicht erfüllt ist.

Unitäre Algebren[Bearbeiten]

Eine unitäre Algebra ist eine Algebra mit einem neutralen Element der Multiplikation, dem Einselement (vgl. unitärer Ring). Beispiele:

  • Matrizenalgebren mit der Einheitsmatrix als Einselement.
  • Jede Gruppenalgebra ist unitär: das Einselement der Gruppe ist auch Einselement der Algebra.
  • Das konstante Polynom 1 ist Einselement einer Polynomalgebra.
  • Der Körper K mit seiner Körpermultiplikation als Algebra-Multiplikation ist als K-Algebra assoziativ, kommutativ und unitär.

Wenn das aus dem jeweiligen Kontext klar ist, werden die Eigenschaften „assoziativ“, „kommutativ“ und „unitär“ in der Regel nicht explizit genannt. Hat eine Algebra kein Einselement, so kann man eines adjungieren; jede Algebra ist also in einer unitären enthalten.

Nicht-assoziative Algebren[Bearbeiten]

Manche Autoren bezeichnen eine K-Algebra als nicht-assoziativ, wenn das Assoziativgesetz nicht vorausgesetzt wird.[3] (Diese Begriffsbildung führt allerdings zu der etwas verwirrenden Konsequenz, dass insbesondere jede assoziative Algebra auch nicht-assoziativ ist.) Einige Beispiele für Algebren, die nicht notwendigerweise assoziativ sind:

  • Eine Divisionsalgebra ist eine Algebra, in der man „dividieren“ kann, d.h. in der alle Gleichungen ax=b und ya=b für a\ne 0 stets eindeutig lösbar sind. Eine Divisionsalgebra muss weder kommutativ noch assoziativ noch unitär sein.
  • Eine Lie-Algebra ist eine Algebra, in der die beiden folgenden Bedingungen gelten (in Lie-Algebren wird das Produkt meist als [x,y] geschrieben):
  • Der reelle Vektorraum \R^3 mit dem Kreuzprodukt. Diese reelle Algebra ist insbesondere eine Lie-Algebra.
  • Eine Baric-Algebra ist eine Algebra A, für die es einen nichttrivialen Algebrenhomomorphismus w\colon A\to K gibt.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. siehe z.B. bei Dickson (1905), http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Extras/Dickson_linear_algebras.html
  2.  Guido Walz (Hrsg.): Reelle Algebra. In: Lexikon der Mathematik. 1 Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 978-3827404398.
  3. siehe z.B. R. Lidl und J. Wiesenbauer, Ringtheorie und ihre Anwendungen, Wiesbaden 1980, ISBN 3-400-00371-9, Seite