Algebraische Funktion

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Algebraische Funktionen sind eine spezielle Klasse von Funktionen, die insbesondere in dem mathematischen Teilgebiet der Algebra untersucht wird. Sie sind die Lösung einer algebraischen Gleichung. Funktionen, die nicht algebraisch sind, werden transzendente Funktionen genannt.

Die Theorie der algebraischen Funktionen wurde in der Vergangenheit von den drei mathematischen Teilgebieten Funktionentheorie, arithmetische algebraische Geometrie und algebraische Geometrie aus entwickelt.

Definition[Bearbeiten]

Eine Funktion y = f(x_1, \dotsc, x_n) in n Variablen wird algebraische Funktion genannt, falls es ein irreduzibles Polynom P in n+1 Variablen und Koeffizienten in einem Körper gibt, so dass f die algebraische Gleichung

P(f(x_1, \dotsc, x_n),x_1, \dotsc, x_n) = 0

löst.

Eine Funktion y = f(x) von einer Variablen ist also algebraisch, falls sie die Gleichung

P_n(x)y^n + \dotsb + P_1(x)y + P_0(x) = 0

erfüllt, wobei P_1, \dotsc, P_n Polynome in der Variable x sind.[1]

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Da in der Definition gefordert wurde, dass die Polynome irreduzibel sind, kann bewiesen werden, dass es zu jeder algebraischen Funktion y = f(x_1, \dotsc, x_n) bis auf eine Konstante genau ein irreduzibles Polynom P gibt mit P(y,x_1, \dotsc, x_n) = 0. Der Grad des Polynoms P in der Variablen y wird dann der Grad der algebraischen Funktion genannt.
  • Für den Grad 1 können alle algebraische Funktionen als rationale Funktionen und für die Grade 2, 3 und 4 können sie alle als Quadrat- oder Kubikwurzel einer rationalen Funktion dargestellt werden. Für Grade k > 4 ist dies im Allgemeinen nicht möglich.
  • Algebraische Funktionen einer Variablen über dem Körper der komplexen Zahlen \C sind meromorph.

Beispiele[Bearbeiten]

Transzendente Funktionen[Bearbeiten]

Eine Funktion wird transzendent genannt, falls sie nicht algebraisch ist. Hierzu zählen zum Beispiel

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Josef Naas, Hermann Ludwig Schmid: Mathematisches Wörterbuch. Mit Einbeziehung der theoretischen Physik. Band 1: A – K. 3. Auflage, unveränderter Nachdruck. Akademie-Verlag u. a., Berlin u. a. 1979, ISBN 3-519-02400-4.