Algorithmus von Tarjan zur Bestimmung starker Zusammenhangskomponenten

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Der Algorithmus von Tarjan (nach seinem Erfinder Robert Tarjan) dient in der Graphentheorie zur Bestimmung der starken Zusammenhangskomponenten (SZKn) eines gerichteten Graphen.

Idee[Bearbeiten]

Die Grundidee des Algorithmus besteht darin, von einem Startknoten ausgehend eine Tiefensuche im Graphen durchzuführen. Die starken Zusammenhangskomponenten (SZKn) bilden dabei Teilbäume des Tiefensuchbaumes, die Wurzeln dieser Bäume heißen Wurzeln der Zusammenhangskomponenten.

Die Knoten werden in der Reihenfolge, in der sie besucht werden, auf einem Stack abgelegt. Kehrt die Tiefensuche aus einem Unterbaum zurück, werden die Knoten wieder vom Stack genommen und ausgegeben, dabei wird jedes Mal entschieden, ob es sich bei dem Knoten um die Wurzel einer Zusammenhangskomponente handelt. Wenn ja, zeigt der Algorithmus an, dass die bisher ausgegebenen Knoten eine SZK bilden.

Die Wurzeleigenschaft[Bearbeiten]

Beim Zurückkehren aus einem Unterbaum muss für jeden Knoten festgestellt werden, ob er die Wurzel einer Zusammenhangskomponente ist. Dazu wird jedem Knoten v neben dem Tiefensuchindex v.dfs, welcher die Knoten in der Reihenfolge durchnummeriert, in der sie bei der Tiefensuche "entdeckt" werden, ein Wert v.lowlink zugeordnet, wobei v.lowlink := min {v'.dfs: v' ist von v über beliebig viele Kanten des Graphen erreichbar, gefolgt von maximal einer weiteren Kante (v", v'), wobei v" und v' in derselben SZK liegen} Es gilt: v ist die Wurzel einer Zusammenhangskomponente genau dann, wenn v.lowlink = v.dfs ist. v.lowlink kann während der Tiefensuche so berechnet werden, dass der Wert zum Zeitpunkt der Abfrage bekannt ist.

Visualisierung[Bearbeiten]

Algorithmus von Tarjan zur Bestimmung starker Zusammenhangskomponenten

Der Algorithmus in Pseudocode[Bearbeiten]

Eingabe: Graph G = (V, E)

maxdfs := 0                      // Zähler für dfs
U := V                           // Menge der unbesuchten Knoten
S := {}                          // Stack zu Beginn leer
while (es gibt ein v0 in U) do   // Solange es bis jetzt unerreichbare Knoten gibt
  tarjan(v0)                     // Aufruf arbeitet alle von v0 erreichbaren Knoten ab
end while

procedure tarjan(v)
v.dfs := maxdfs;           // Tiefensuchindex setzen
v.lowlink := maxdfs;       // v.lowlink <= v.dfs
maxdfs := maxdfs + 1;      // Zähler erhöhen
S.push(v);                 // v auf Stack setzen
U := U \ {v};              // v aus U entfernen
forall (v, v') in E do     // benachbarte Knoten betrachten
  if (v' in U)
    tarjan(v');            // rekursiver Aufruf
    v.lowlink := min(v.lowlink, v'.lowlink);
  // Abfragen, ob v' im Stack ist. 
  // Bei geschickter Realisierung in O(1).
  // (z.B. Setzen eines Bits beim Knoten beim "push" und "pop") 
  elseif (v' in S)
    v.lowlink := min(v.lowlink, v'.dfs);
  end if
end for
if (v.lowlink = v.dfs)     // Wurzel einer SZK
  print "SZK:";
  repeat
    v' := S.pop;
    print v';
  until (v' = v);
end if

Bemerkungen[Bearbeiten]

  1. Aufwand: Die Prozedur tarjan wird für jeden Knoten genau einmal aufgerufen; die forall-Schleife betrachtet also jede Kante insgesamt höchstens zweimal. Des Weiteren muss aber nicht zu jedem Knoten eine Kante gehören. Die Laufzeit des Algorithmus ist also linear in der Anzahl der Kanten plus der Anzahl der Knoten von G.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Robert Tarjan: Depth-first search and linear graph algorithms. In: SIAM Journal on Computing. Bd. 1 (1972), Nr. 2, S. 146-160.