Allgemeine lineare Gruppe

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Die allgemeine lineare Gruppe  \mathrm{GL} (n,K) oder  \mathrm{GL}_n (K) vom Grad  n über einem Körper K ist die Gruppe aller regulären  n \times n -Matrizen mit Koeffizienten aus K. Gruppenverknüpfung ist die Matrizenmultiplikation. Die Bezeichnung  \mathrm{GL} kommt von der Abkürzung der englischen Bezeichnung „general linear group“.

Wenn der Körper K ein endlicher Körper \Bbb F_q mit einer Primzahlpotenz q ist, so schreibt man auch \mathrm{GL} (n,q) statt \mathrm{GL} (n, K) . Wenn aus dem Kontext klar ist, dass der Körper \R der reellen oder  \mathbb{C} der komplexen Zahlen zu Grunde gelegt ist, schreibt man auch  \mathrm{GL} (n) oder \mathrm{GL}_n .

Die allgemeine lineare Gruppe und ihre Untergruppen finden Anwendung in der Darstellung von Gruppen sowie in der Untersuchung von Symmetrien.

Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe werden als Matrizengruppen bezeichnet.

Allgemeine lineare Gruppe über einem Vektorraum[Bearbeiten]

Wenn  V ein Vektorraum über einem Körper  K ist, schreibt man  \mathrm{GL} (V) oder  \mathrm{Aut}(V) für die Gruppe aller Automorphismen von  V , also aller bijektiven linearen Abbildungen  V \to V , mit der Hintereinanderausführung solcher Abbildungen als Gruppenverknüpfung.

Wenn  V die endliche Dimension  n hat, sind  \mathrm{GL} (V) und  \mathrm{GL} (n, K ) isomorph. Für eine gegebene Basis des Vektorraums  V kann jeder Automorphismus von  V durch eine invertierbare  n \times n -Matrix dargestellt werden. Dadurch wird ein Isomorphismus von  \mathrm{GL} (V) auf  \mathrm{GL} (n, K) hergestellt.

Für  n \geq 2 ist die Gruppe  \mathrm{GL} (n, K ) nicht abelsch. Für  n = 2 gilt beispielsweise


\begin{pmatrix}1 & 0\\1 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 1\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 2\end{pmatrix}

aber


\begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1 & 0\\1 & 1\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}
.

Das Zentrum von  \mathrm{GL} (n, K ) besteht aus den Vielfachen der Einheitsmatrix (mit Skalaren aus K\setminus\{0\}).

Untergruppen von GL (n, K )[Bearbeiten]

Jede Untergruppe von  \mathrm{GL} (n, K ) wird eine Matrizengruppe oder lineare Gruppe genannt. Einige Untergruppen haben besondere Bedeutung.

Für K =  \mathbb{R} beschreiben diese Matrizen Automorphismen des  \mathbb{R}^n, die die Euklidische Norm und das Skalarprodukt erhalten, also orthogonale Abbildungen.

Über den reellen und komplexen Zahlen[Bearbeiten]

Die allgemeine lineare Gruppe  \mathrm{GL} (n) über dem Körper  \mathbb{R} oder  \mathbb{C} ist eine Lie-Gruppe über dem Körper und hat die Dimension  n^2 .

Beweis:
 \mathrm{GL} (n) ist eine Untermenge der Mannigfaltigkeit  \mathrm{Mat}_n(K) aller  n \times n -Matrizen, die ein Vektorraum der Dimension  n^2 ist. Die Determinante ist eine stetige (sogar polynomiale) Abbildung  \mathrm{Mat}_n(K) \ \rightarrow \ K.  \mathrm{GL} (n) ist als Urbild der offenen Teilmenge  K^\times von  K eine offene, nicht leere Teilmenge von  \mathrm{Mat}_n(K) und hat deshalb die gleiche Dimension.

Die Lie-Algebra zu  \mathrm{GL} (n) ist die allgemeine lineare Lie-Algebra  \mathfrak{gl}(n) und sie besteht aus allen  n \times n -Matrizen mit dem Kommutator als Lie-Klammer.

Während  \mathrm{GL} (n,\mathbb{C}) zusammenhängend ist, hat  \mathrm{GL} (n,\mathbb{R}) zwei Zusammenhangskomponenten: die Matrizen mit positiver und die mit negativer Determinante. Die Zusammenhangskomponente mit positiver Determinante enthält das Einselement und bildet eine Untergruppe  \mathrm{GL} ^+(n, \mathbb{R} ). Diese Untergruppe ist eine zusammenhängende Lie-Gruppe mit reeller Dimension  n^2 und hat dieselbe Lie-Algebra wie  \mathrm{GL} (n,\mathbb{R}) .

Über endlichen Körpern[Bearbeiten]

Wenn  K ein endlicher Körper mit  q Elementen ist, dann ist  \mathrm{GL} (n, K ) eine endliche Gruppe der Ordnung

\prod_{i=0}^{n-1}\left(q^n-q^i\right)=\left(q^n-1\right)\cdot\left(q^n-q\right)\cdot\left(q^n -q^2\right)\cdots\left(q^n-q^{n-1}\right)

Dieser Wert kann beispielsweise durch Abzählen der Möglichkeiten für die Matrixspalten ermittelt werden: Für die erste Spalte gibt es q^n - 1 Belegungsmöglichkeiten (alle außer der Nullspalte), für die zweite Spalte gibt es q^n - q Möglichkeiten (alle außer den Vielfachen der ersten Spalte), etc.

Projektive lineare Gruppe[Bearbeiten]

Die projektive lineare Gruppe  \mathrm{PGL}(V) über einem Vektorraum  V über einem Körper  K ist die Faktorgruppe  \mathrm{GL} (V) /K^\times , wobei  K^\times die normale (sogar zentrale) Untergruppe der skalaren Vielfachen  k \cdot \mathrm{id}_V der Identität  \mathrm{id}: V \rightarrow V ist mit  k aus  K \setminus \{0\} . Die Bezeichnungen  \mathrm{PGL}(n, K) usw. entsprechen denen der allgemeinen linearen Gruppe. Wenn  K ein endlicher Körper ist, sind  \mathrm{PGL}(n,K) und  \mathrm{SL}(n,K) gleichmächtig, aber im Allgemeinen nicht isomorph.

Der Name stammt aus der projektiven Geometrie, wo das Analogon zur allgemeinen linearen Gruppe die projektive lineare Gruppe ist, zum n-dimensionalen projektiven Raum über  K gehört dabei die Gruppe  \mathrm{PGL}(n+1,K), sie ist die Gruppe aller Projektivitäten des Raumes.

Ein Spezialfall ist die Gruppe der Möbiustransformationen, die  \mathrm{PGL}(2 , \mathbb C).