Allgemeine lineare Gruppe

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Die allgemeine lineare Gruppe  \mathrm{GL} (n,K) oder  \mathrm{GL}_n (K) vom Grad  n über einem Körper K ist die Gruppe aller regulären  n \times n -Matrizen mit Koeffizienten aus K. Gruppenverknüpfung ist die Matrizenmultiplikation. Die Bezeichnung  \mathrm{GL} kommt von der Abkürzung der englischen Bezeichnung „general linear group“.

Wenn der Körper K ein endlicher Körper \Bbb F_q mit einer Primzahlpotenz q ist, so schreibt man auch \mathrm{GL} (n,q) statt \mathrm{GL} (n, K) . Wenn aus dem Kontext klar ist, dass der Körper \R der reellen oder  \mathbb{C} der komplexen Zahlen zu Grunde gelegt ist, schreibt man auch  \mathrm{GL} (n) oder \mathrm{GL}_n .

Die allgemeine lineare Gruppe und ihre Untergruppen finden Anwendung in der Darstellung von Gruppen sowie in der Untersuchung von Symmetrien.

Allgemeine lineare Gruppe über einem Vektorraum[Bearbeiten]

Wenn  V ein Vektorraum über einem Körper  K ist, schreibt man  \mathrm{GL} (V) oder  \mathrm{Aut}(V) für die Gruppe aller Automorphismen von  V , also aller bijektiven linearen Abbildungen  V \to V , mit der Hintereinanderausführung solcher Abbildungen als Gruppenverknüpfung.

Wenn  V die endliche Dimension  n hat, sind  \mathrm{GL} (V) und  \mathrm{GL} (n, K ) isomorph. Für eine gegebene Basis des Vektorraums  V kann jeder Automorphismus von  V durch eine invertierbare  n \times n -Matrix dargestellt werden. Dadurch wird ein Isomorphismus von  \mathrm{GL} (V) auf  \mathrm{GL} (n, K) hergestellt.

Für  n \geq 2 ist die Gruppe  \mathrm{GL} (n, K ) nicht abelsch. Für  n = 2 gilt beispielsweise


\begin{pmatrix}1 & 0\\1 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 1\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 2\end{pmatrix}

aber


\begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1 & 0\\1 & 1\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}
.

Das Zentrum von  \mathrm{GL} (n, K ) besteht aus den Vielfachen der Einheitsmatrix (mit Skalaren aus K\setminus\{0\}).

Untergruppen von GL (n, K )[Bearbeiten]

Jede Untergruppe von  \mathrm{GL} (n, K ) wird eine lineare Gruppe genannt. Einige Untergruppen haben besondere Bedeutung.

Für K =  \mathbb{R} beschreiben diese Matrizen Automorphismen des  \mathbb{R}^n, die die Euklidische Norm und das Skalarprodukt erhalten, also orthogonale Abbildungen.

Über den reellen und komplexen Zahlen[Bearbeiten]

Die allgemeine lineare Gruppe  \mathrm{GL} (n) über dem Körper  \mathbb{R} oder  \mathbb{C} ist eine Lie-Gruppe über dem Körper und hat die Dimension  n^2 .

Beweis:
 \mathrm{GL} (n) ist eine Untermenge der Mannigfaltigkeit  \mathrm{Mat}_n(K) aller  n \times n -Matrizen, die ein Vektorraum der Dimension  n^2 ist. Die Determinante ist eine stetige (sogar polynomiale) Abbildung  \mathrm{Mat}_n(K) \ \rightarrow \ K.  \mathrm{GL} (n) ist als Urbild der offenen Teilmenge  K^\times von  K eine offene, nicht leere Teilmenge von  \mathrm{Mat}_n(K) und hat deshalb die gleiche Dimension.

Die Lie-Algebra zu  \mathrm{GL} (n) ist die Allgemeine lineare Lie-Algebra  \mathrm{gl}(n) und sie besteht aus allen  n \times n -Matrizen mit dem Kommutator als Lie-Klammer.

Während  \mathrm{GL} (n,\mathbb{C}) zusammenhängend ist, hat  \mathrm{GL} (n,\mathbb{R}) zwei Zusammenhangskomponenten: die Matrizen mit positiver und die mit negativer Determinante. Die Zusammenhangskomponente mit positiver Determinante enthält das Einselement und bildet eine Untergruppe  \mathrm{GL} ^+(n, \mathbb{R} ). Diese Untergruppe ist eine zusammenhängende Lie-Gruppe mit reeller Dimension  n^2 und hat dieselbe Lie-Algebra wie  \mathrm{GL} (n,\mathbb{R}) .

Über endlichen Körpern[Bearbeiten]

Wenn  K ein endlicher Körper mit  q Elementen ist, dann ist  \mathrm{GL} (n, K ) eine endliche Gruppe der Ordnung

\prod_{i=0}^{n-1}\left(q^n-q^i\right)=\left(q^n-1\right)\cdot\left(q^n-q\right)\cdot\left(q^n -q^2\right)\cdots\left(q^n-q^{n-1}\right)

Dieser Wert kann beispielsweise durch Abzählen der Möglichkeiten für die Matrixspalten ermittelt werden: Für die erste Spalte gibt es q^n - 1 Belegungsmöglichkeiten (alle außer der Nullspalte), für die zweite Spalte gibt es q^n - q Möglichkeiten (alle außer den Vielfachen der ersten Spalte), etc.

Projektive lineare Gruppe[Bearbeiten]

Die projektive lineare Gruppe  \mathrm{PGL}(V) über einem Vektorraum  V über einem Körper  K ist die Faktorgruppe  \mathrm{GL} (V) /K^\times , wobei  K^\times die normale (sogar zentrale) Untergruppe der skalaren Vielfachen  k \cdot \mathrm{id}_V der Identität  \mathrm{id}: V \rightarrow V ist mit  k aus  K \setminus \{0\} . Die Bezeichnungen  \mathrm{PGL}(n, K) usw. entsprechen denen der allgemeinen linearen Gruppe. Wenn  K ein endlicher Körper ist, sind  \mathrm{PGL}(n,K) und  \mathrm{SL}(n,K) gleichmächtig, aber im Allgemeinen nicht isomorph.

Der Name stammt aus der projektiven Geometrie, wo das Analogon zur allgemeinen linearen Gruppe die projektive lineare Gruppe ist, zum n-dimensionalen projektiven Raum über  K gehört dabei die Gruppe  \mathrm{PGL}(n+1,K), sie ist die Gruppe aller Projektivitäten des Raumes.

Ein Spezialfall ist die Gruppe der Möbiustransformationen, die  \mathrm{PGL}(2 , \mathbb C).