Alternativität

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In der Mathematik ist Alternativität[1] eine Abschwächung des Assoziativgesetzes.

Definition[Bearbeiten]

Eine Verknüpfung · heißt alternativ, wenn die beiden unten stehenden Aussagen für alle o und p gelten:

 o \cdot ( o \cdot p ) = ( o \cdot o ) \cdot p

und

 o \cdot ( p \cdot p ) = ( o \cdot p ) \cdot p.

Bedeutung[Bearbeiten]

Ist eine Verknüpfung assoziativ, kann man die Klammern in drei- und mehrgliedrigen Ausdrücken weglassen:  (o \cdot q) \cdot p = o \cdot (q \cdot p) = o  \cdot q \cdot p

Gilt das Assoziativgesetz nicht, müssen alle Klammern stehen bleiben. Gilt die Alternativität, kann man die Klammern wenigstens dann weglassen, wenn q=o oder wenn q=p. Insbesondere lassen sich gleiche Faktoren zu Potenzen zusammenfassen. Das heißt, dass es möglich ist, Produkte der Art (a \cdot a) \cdot ((a \cdot a) \cdot b) zusammenzufassen zu a^4 \cdot b.

Jede assoziative Verknüpfung ist automatisch alternativ.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Für einen Alternativkörper, einen verallgemeinerten Körper wird von der Multiplikation an Stelle des Assoziativgesetzes nur die Alternativität gefordert. Im Gegensatz zu einem Körper muss die Multiplikation auch nicht kommutativ sein.
  • Die reellen Oktonionen bilden einen solchen Alternativkörper. Ihre Multiplikation ist alternativ, aber weder assoziativ noch kommutativ.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Günther Eisenreich: Lexikon der Algebra. Akademie-Verlag, Berlin 1989, ISBN 3-05-500231-8.
  •  E. N. Kuz'min I.P. and Shestakov, A. I. Kostrikin and I. R. Shafarevich (Hrsg.): Algebra VI. Combinatorial and Asymptotic Methods of Algebra: Nonassociative Structures. Springer, 1995.
  •  Ruth Moufang: Zur Struktur von Alternativkörpern. In: Mathematische Annalen. Volume 110, Nr. Number 1, 1935, S. 416-430.
  •  Max August Zorn: Theorie der alternativen Ringe. In: Abh. Math. Sem. Volume 8, Nr. Number 1, Hamburg 1930, S. 123–147, doi:10.1007/BF02940993.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Eisenreich (1989)