Multilinearform

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Eine p-Multilinearform \omega ist in der Mathematik eine Funktion, die p Argumenten v_i \in V_i,\; i\in\{1,\ldots,p\} aus K-Vektorräumen V_1, \ldots, V_p einen Wert \omega(v_1,\ldots,v_p) \in K zuordnet und in jeder Komponente linear ist. Im allgemeineren Fall, dass der Bildraum selbst ein Vektorraum ist, oder Bild- und Zielräume Moduln sind, spricht man von einer multilinearen Abbildung.

Definition[Bearbeiten]

Eine Abbildung


\begin{align}
  \omega:\  V_1\times \cdots \times V_p & \rightarrow K \\
                     (v_1,\ldots,v_p) \ & \mapsto \omega\left(v_1,\dots,v_p\right)
\end{align}

heißt Multilinearform, wenn für alle v_j \in V_j, j \in \{1, \ldots, p\} und alle i \in \{1, \ldots, p\} folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:

Für alle \lambda \in K gilt

\omega\left(v_1,\ldots,\lambda \;v_i,\ldots,v_p\right) = \lambda \;\omega\left(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_p\right)

und für alle w \in V_i

\omega\left(v_1,\ldots,v_i+w,\ldots,v_p\right) = \omega\left(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_p\right)+\omega\left(v_1,\ldots,w,\ldots,v_p\right).

Die Menge aller multilinearen Abbildungen \mathcal{J}^p(V_1, \ldots, V_p) bildet einen K-Vektorraum. Im Fall V_1 = \cdots = V_p =: V schreibt man \mathcal{J}^p(V) := \mathcal{J}^p(V, \ldots, V).

Alternierende Multilinearformen[Bearbeiten]

Eine Multilinearform \omega \in \mathcal{J}^p(V) heißt alternierend, falls sie Null ergibt, wenn zweimal derselbe Vektor eingesetzt wird, d.h.

\omega\left(\dots,v,\dots,v,\dots\right)= 0

für alle v \in V.[1]

In diesem Fall folgt auch, dass die Form schiefsymmetrisch ist, das heißt, dass sie bei Vertauschung von zwei beliebigen Argumenten ihr Vorzeichen wechselt, also

\omega\left(v_1,\dots,v_i,\dots,v_j,\dots,v_p\right)= -\omega\left(v_1,\dots,v_j,\dots,v_i,\dots,v_p\right)

für alle v_k \in V,\; k \in \{1,\ldots,p\} und i,j \in \{1,\ldots,p\},\; i \neq j. Die umgekehrte Implikation – dass alle schiefsymmetrischen Multilinearformen alternierend sind – gilt aber nur, wenn die Charakteristik von K nicht 2 ist, also zum Beispiel für K = \mathbb{R}.[1]

Ist allgemeiner \pi \in S_p eine beliebige Permutation der Indizes, dann gilt

\omega\left(v_{\pi(1)}, \dotsc, v_{\pi(p)}\right) = \operatorname{sign}(\pi) \cdot \omega\left(v_{1}, \dotsc, v_{p}\right),

wobei \operatorname{sign}(\pi) das Signum der Permutation bezeichnet.

Die Menge aller alternierenden Multilinearformen \Omega^p(V) ist ein Untervektorraum von \mathcal{J}^p(V). Außerdem lässt sich auf dieser Menge die Struktur einer Algebra definieren. Diese Algebra heißt Graßmann-Algebra. Wichtig ist der Spezialfall \ p = \dim V. Dann ist \Omega^p(V) ein 1-dimensionaler Unterraum von \mathcal{J}^p(V), und seine Elemente heißen Determinantenfunktionen.

Beispiele[Bearbeiten]

  1. Linearformen sind genau die 1-Multilinearformen.
  2. Bilinearformen sind genau die 2-Multilinearformen. Antisymmetrische Bilinearformen sind alternierende Multilinearformen (wenn die Charakteristik von K nicht 2 ist).
  3. Bildet man aus n Vektoren durch Zusammenfassen eine quadratische Matrix, so ist die Determinante dieser Matrix eine alternierende, normierte Multilinearform. Im dreidimensionalen Fall ist also \omega definiert durch
    \omega\left(v_1,v_2,v_3\right):= 
\det\begin{pmatrix}
v_{1x} & v_{2x} & v_{3x} \\ 
v_{1y} & v_{2y} & v_{3y} \\ 
v_{1z} & v_{2z} & v_{3z}
\end{pmatrix}
    eine alternierende 3-Multilinearform. Dabei sind die Vektoren v_1,v_2,v_3 folgendermaßen in Koordinaten dargestellt:
    
v_1=\begin{pmatrix}
v_{1x} \\
v_{1y} \\
v_{1z}
\end{pmatrix}
,\quad\quad

v_2=\begin{pmatrix}
v_{2x} \\
v_{2y} \\
v_{2z}
\end{pmatrix}
,\quad\quad

v_3=\begin{pmatrix}
v_{3x} \\
v_{3y} \\
v_{3z}
\end{pmatrix}.
  4. Kovariante Tensoren sind Multilinearformen: In dem Fall, dass alle Vektorräume V_i identisch sind (also V_i=V), ist die p-Multilinearform auch ein kovarianter Tensor p-ter Stufe. Im selben Fall sind die alternierenden p-Multilinearformen auch total antisymmetrische Tensoren p-ter Stufe.
  5. Eine Differentialform ordnet einem Punkt einer Mannigfaltigkeit eine alternierende Multilinearform auf dem zugehörigen Tangentialraum zu.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b  Arkady L'vovich Onishchik: Multilinear mapping. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (Online).

Literatur[Bearbeiten]