Vermutung von Andrica

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Die ersten 100 Werte für \sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}.

Die Vermutung von Andrica, benannt nach Dorin Andrica,[1] ist eine Vermutung zu den Primzahllücken.

Sei p_n die n-te Primzahl. Dann besagt die Vermutung von Andrica, dass folgende Ungleichung für alle natürlichen n gilt:

\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}<1.

Unter Verwendung der n-ten Primzahllücke g(n):=p_{n+1}-p_n lässt sie sich auch so formulieren:

g(n)<\sqrt{p_{n+1}} +\sqrt{p_n}.

Werte[Bearbeiten]

Die ersten 500 Werte für A_n = \sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}.

Es sei A_n:=\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}.

Empirisch sinken diese Werte asymptotisch für steigendes n, sodass es sehr wahrscheinlich ist, dass die Vermutung stimmt. Für alle A_n mit n<26\cdot10^{10} wurde die Vermutung von H. J. Smith bestätigt[2], der größte gefundene Wert war A_4\approx0{,}670873479.

Einige Werte, von denen jeweils vermutet wird, dass sie für größere n nicht mehr übertroffen werden, sind der folgenden Tabelle zu entnehmen:

n
Folge A084976 in OEIS
p_n
Folge A084974 in OEIS
A_n
Folge A084977 in OEIS
4 7 0,670873
30 113 0,639281
217 1327 0,463722
263 1669 0,292684
367 2477 0,260522
429 2971 0,256245
462 3271 0,244265
590 4297 0,228429
650 4831 0,215476
738 5591 0,213675
...
10655462 191912783 0,008950

Numerische Computerberechnungen bestärken die Vermutung; mittlerweile (2005[3]) wurden die Primzahlen bis 10^{16} getestet. Ein formaler Beweis konnte dennoch bisher nicht erbracht werden.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Allgemeiner kann man etwa die Gleichung

p_{n+1}^x-p_n^x=1

betrachten und nach maximalem bzw. minimalem x suchen, das eine solche Gleichung erfüllt. Die Gleichung hat ihr

  • Maximum trivialerweise bei n=1, d. h.
3^x-2^x=1\qquad\Rightarrow\qquad x=1
  • Minimum unter den ersten 1000 Primzahlen (und vermutlich auch allgemein) bei n=30, d. h.
127^x-113^x=1\qquad\Rightarrow\qquad x=0{,}56714813\dots = a_0[4]
Dieses a_0 wird auch als (die) Smarandache-Konstante bezeichnet.[5]

Daraus entsteht die verallgemeinerte Andricasche Vermutung

B_n=p_{n+1}^a-p_n^a < 1 \qquad \text{für alle } a<a_0.

Außerdem wird vermutet, dass

C_n=p_{n+1}^{1/k}-p_n^{1/k} < \frac2k \qquad \text{wobei } k\ge2, k\in\N, n\in \N.

Ähnliche Vermutung[Bearbeiten]

Die Vermutung von Andrica ist eine Verschärfung der Vermutung von Legendre, nach der zwischen jedem n^2 und (n+1)^2 mindestens eine Primzahl existiert.

Quellen[Bearbeiten]

  1. http://www.andrica.go.ro/
  2. http://books.google.de/books?id=Mlt2O1rR9xIC&pg=PT26&lpg=PT26&dq=hjsmith+conjecture&source=bl&ots=OWu2Ia61eG&sig=XsSi0thFK1UPaN1NI-kf9Ung2-I&hl=de&ei=Wf7qSpfeI4WLsAao5NCxCw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CBUQ6AEwAg#v=onepage&q=&f=false
  3. Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, Inc., 2005, S. 13.
  4. Folge A038458 in OEIS
  5. vgl. z. B. http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Smarandache_constant&direction=prev&oldid=136223414 Sie ist nicht zu verwechseln mit den sechzehn Smarandacheschen Konstanten, die mit der Smarandache-Funktion in Verbindung stehen.