Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt

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Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.

Die folgenden Bezeichnungen sind ebenfalls üblich: initiales Objekt für Anfangsobjekt, terminales oder finales Objekt für Endobjekt.

Ein Anfangsobjekt ist ein spezieller Fall des Koprodukts, ein Endobjekt ein spezieller Fall des Produkts in Kategorien.

Definitionen[Bearbeiten]

  • Ein Objekt X heißt Anfangsobjekt, wenn es für jedes Objekt Y der Kategorie genau einen Morphismus X \to Y gibt.
  • Ein Objekt X heißt Endobjekt, wenn es für jedes Objekt Y der Kategorie genau einen Morphismus Y \to X gibt.
  • Ein Objekt heißt Nullobjekt, wenn es gleichzeitig Anfangs- und Endobjekt ist.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Je zwei Anfangsobjekte sind isomorph.
  • Je zwei Endobjekte sind isomorph.
  • Je zwei Nullobjekte sind isomorph.
  • Ist ein Anfangsobjekt zu einem Endobjekt isomorph, dann handelt es sich um ein Nullobjekt.

Die in all diesen Fällen auftretenden Isomorphismen sind jeweils eindeutig bestimmt. Zusammenfassend bedeutet dies:

Anfangs-, End- und Nullobjekte sind (sofern sie existieren) jeweils eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus.

  • Das Anfangsobjekt ist ein Sonderfall des Koprodukts, nämlich für die leere Familie von Objekten.
  • Das Endobjekt ist ein Sonderfall des Produkts, nämlich für die leere Familie von Objekten.

Beispiele[Bearbeiten]

Kategorien mit Nullobjekten - Nullmorphismen[Bearbeiten]

Gibt es in einer Kategorie ein Nullobjekt 0, so gibt es zu je zwei Objekten X und Y stets einen kanonischen so genannten Nullmorphismus 0 : X \to Y, der die Verkettung von

X \to 0 \to Y

ist. Genauer schreibt man 0_{X,Y}, um die Abhängigkeit von X und Y auszudrücken. Da die Morphismenmengen einer Kategorie definitionsgemäß paarweise disjunkt sind, gilt 0_{X,Y} = 0_{X',Y'} nur für X=X' und Y=Y'.

Nullmorphismen 0 : X \to Y in konkreten Kategorien sind in der Regel solche, die alle Elemente aus X auf ein Nullelement oder neutrales Element (je nach Kategorie) von Y abbilden. Beispiele sind:

  • In der Kategorie der Gruppen ist der Nullmorphismus 0_{X,Y} : X \to Y derjenige Homomorphismus, der jedes Element aus X auf das neutrale Element von e_Y\in Y abbildet, das heißt 0_{X,Y}(x) = e_Y für alle x\in X.
  • In der Kategorie der Moduln über einem Ring R ist der Nullmorphismus 0_{X,Y} : X \to Y diejenige R-lineare Abbildung, die jedes Element aus X auf das Nullelement von 0_Y\in Y abbildet, das heißt 0_{X,Y}(x) = 0_Y für alle x\in X.
  • In der Kategorie der punktierten topologischen Räume ist der Nullmorphismus 0_{X,Y} : X \to Y diejenige Abbildung, die jedes Element aus X auf den ausgezeichneten Punkt p_Y\in Y abbildet, das heißt 0_{X,Y}(x) = p_Y für alle x\in X. Beachte, dass diese Abbildung als konstante Abbildung stetig ist.

In Kategorien mit Nullobjekten gibt es damit den Begriff des Kerns eines Morphismus f, dieser ist als Differenzkern des Paares (f, 0) definiert.

Nullmorphismen erlauben auch die Konstruktion eines kanonischen Pfeils aus einem Koprodukt in das entsprechende Produkt.

Literatur[Bearbeiten]

  • Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, ISBN 3-411-014420-2 (formal falsche ISBN), Kapitel I, Absatz 3.3: Nullobjekte und Nullmorphismen