Antisymmetrische Funktion

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Dieser Artikel behandelt antisymmetrische Funktionen mehrerer Variablen; zur Achsen- und Punktsymmetrie reeller Funktionen einer Variablen siehe gerade und ungerade Funktionen.

Eine antisymmetrische Funktion oder schiefsymmetrische Funktion ist in der Mathematik eine Funktion mehrerer Variablen, bei der die Vertauschung zweier Variablen das Vorzeichen der Funktion umkehrt. Wichtige Spezialfälle antisymmetrischer Funktionen sind antikommutative Verknüpfungen und alternierende Multilinearformen. In der Quantenmechanik sind Fermionen genau diejenigen Teilchen, deren Wellenfunktion antisymmetrisch bezüglich des Austauschs der Teilchenpositionen ist. Das Gegenstück zu den antisymmetrischen Funktionen sind symmetrische Funktionen.

Definition[Bearbeiten]

Sind V und W zwei Vektorräume (meist über den reellen oder komplexen Zahlen), dann heißt eine multivariate Funktion f\colon V^n\to W antisymmetrisch, wenn für alle Permutationen \sigma\in S_n und alle Vektoren x_1, \dotsc , x_n \in V

f(x_1, \dotsc , x_n) = \operatorname{sgn}(\sigma) f(x_{\sigma(1)}, \dotsc , x_{\sigma(n)})

gilt, wobei \operatorname{sgn} das Signum der Permutation ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Konkrete Beispiele[Bearbeiten]

Die Subtraktion

f(x_1,x_2) = x_1 - x_2 = - (x_2 - x_1) = -f(x_2,x_1)

ist antisymmetrisch, denn durch Vertauschung der beiden Operanden x_1 und x_2 kehrt sich das Vorzeichen des Ergebnisses um. Antisymmetrische Funktionen dreier Variablen sind beispielsweise

f(x_1,x_2,x_3) = ( x_1 - x_2 )( x_2 - x_3 )( x_3 - x_1 )

oder

f(x_1,x_2,x_3) = x_1^2( x_2 - x_3 ) + x_2^2( x_3 - x_1 ) + x_3^2( x_1 - x_2 ).

Allgemeinere Beispiele[Bearbeiten]

Weitere Kriterien[Bearbeiten]

Für den Nachweis der Antisymmetrie einer Funktion müssen nicht alle n! möglichen Permutationen der symmetrischen Gruppe S_n überprüft werden. Nachdem sich jede Permutation als Hintereinanderausführung von Transpositionen der Form (i ~ j) schreiben lässt, ist eine Funktion bereits genau dann antisymmetrisch, wenn sich der Funktionswert durch die Vertauschung zweier beliebiger Variablen x_i und x_j umkehrt, also

f(\dotsc , x_i , \dotsc , x_j, \dotsc) = -f(\dotsc , x_j , \dotsc , x_i, \dotsc)

für i,j \in \{ 1, \ldots , n \} mit i < j ist. Für weitere mögliche Kriterien zum Nachweis der Antisymmetrie siehe Symmetrische Funktion#Weitere Kriterien, die jeweils mit Vorzeichenwechsel angewandt werden müssen.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die antisymmetrischen Funktionen bilden einen Untervektorraum im Vektorraum aller Funktionen von V^n nach W (mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation), das heißt

  • ein skalares Vielfaches einer antisymmetrischen Funktion ist wieder eine antisymmetrische Funktion und
  • die Summe zweier antisymmetrischer Funktionen ist ebenfalls wieder antisymmetrisch,

wobei die Nullfunktion trivialerweise antisymmetrisch ist.

Antisymmetrisierung[Bearbeiten]

Durch Antisymmetrisierung, das heißt durch eine gewichtete Summation über alle möglichen Permutationen der Form

\begin{align}
Af(x_1, \dotsc , x_n) & = \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) f(x_{\sigma(1)}, \dotsc , x_{\sigma(n)}) \\
& = \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n \atop \text{gerade}} f(x_{\sigma(1)}, \dotsc , x_{\sigma(n)}) - \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n \atop \text{ungerade}} f(x_{\sigma(1)}, \dotsc , x_{\sigma(n)})
\end{align}

lässt sich jeder nicht antisymmetrischen Funktion f eine zugehörige antisymmetrische Funktion Af zuordnen. Der Antisymmetrisierungsoperator A führt dabei eine Projektion auf den Untervektorraum der antisymmetrischen Funktionen durch. Wenn f(x_1, \dotsc , x_n) ein Produkt von Funktionen ist, die jeweils nur von einer einzigen Variable abhängen (in der Quantenchemie wird eine solche Funktion Hartree-Produkt genannt), kann man Af(x_1, \dotsc , x_n) auch als Slaterdeterminante schreiben.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]