Apothema

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Kreissehne WA eines Kreises mit Radius r, Sehnenlänge l, Sagitta d und Apothema r-d
Apothema eines regelmäßigen Sechsecks

Der Begriff Apothema (griechisch ἀπόθεμα „Ablage“) ist in der Geometrie eine historische Bezeichnung für das Lot vom Mittelpunkt eines Kreises auf eine Sehne des Kreises. Die Länge des Apothemas ist damit der Abstand der Kreissehne vom Kreismittelpunkt und gleich der Differenz aus dem Kreisradius und der Höhe der Sehne, die historisch mit Sagitta bezeichnet wird. In einem regelmäßigen Polygon, das in einem Kreis einbeschrieben ist, sind alle Apothemen zueinander kongruent und ihre Längen entsprechen dem Inkreisradius des Polygons.

Definition[Bearbeiten]

Ist K ein Kreis mit Mittelpunkt M und S eine Sehne des Kreises mit Mittelpunkt L, dann ist das Apothema a der Sehne definiert als

a := [ ML ],

also die Verbindungslinie zwischen dem Kreismittelpunkt und dem Sehnenmittelpunkt. Das Apothema ist damit das Lot vom Kreismittelpunkt auf die Sehne, wobei L der Lotfußpunkt ist. Neben der Strecke [ML] selbst wird auch die Länge der Strecke |ML|, also der Abstand der Kreissehne vom Kreismittelpunkt, als Apothema bezeichnet.

Berechnung[Bearbeiten]

Ist r der Kreisradius und l die Länge der Kreissehne, dann gilt nach dem Satz des Pythagoras für die die Länge des Apothemas a

r^2 = a^2 + \left( \frac l2 \right)^2

und damit

a = \sqrt{r^2 - \tfrac{l^2}4}.

In einem regelmäßigen Polygon mit n Seiten und der Seitenlänge l entspricht die Länge jedes Apothemas dem Inkreisradius des Polygons und damit

a = \frac{l} {2 \, \tan \left( \frac{180^\circ}{n} \right)}.

Mit Hilfe des Apothemas kann so auch der Flächeninhalt eines regelmäßigen Polygons als A = \tfrac12 nla ermittelt werden, da ein regelmäßiges Polygon in n kongruente gleichschenklige Dreiecke der Fläche \tfrac12 la zerlegt werden kann. Für verschiedene regelmäßige Polygone ergeben sich die folgenden Werte:

regelmäßiges
Polygon
Seitenlänge Apothema Fläche
Dreieck  l = r \cdot \sqrt{3}  a = r \cdot \tfrac 12  A = r^2 \cdot \tfrac{3 \sqrt{3}}{4}
Viereck  l = r \cdot \sqrt{2}  a = r \cdot \tfrac {\sqrt{2}}{2}  A = r^2 \cdot 2
Fünfeck  l = r \cdot \sqrt{\tfrac12 (5-\sqrt{5})}  a = r \cdot \tfrac14 (1+\sqrt{5})  A = r^2 \cdot \tfrac58 \sqrt{(10+2\sqrt{5})}
Sechseck  l = r \,  a = r \cdot \tfrac12 \sqrt{3}  A = r^2 \cdot \tfrac{3}{2} \sqrt{3}
Achteck  l = r \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}  a = r \cdot \tfrac12 \sqrt{2}  A = r^2 \cdot 2 \sqrt{2}
n-Eck  l = r \cdot 2 \cdot \sin \tfrac{180^\circ}{n}  a = r \cdot \cos \tfrac{180^\circ}{n}  A = r^2 \cdot \tfrac{n}{2} \cdot \sin \tfrac{360^\circ}{n}
n \to \infty (Kreis)  l \to 0  a \to r  A \to r^2 \cdot \pi

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Köberlein, J. Michael: Lehrbuch der Elementar-Geometrie und Trigonometrie zunächst für Gymnasien und Lyzeen, Sulzbach 1824

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Chord (geometry) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Apothema – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen