Arbelos

Das namengebende Schustermesser

Der Arbelos (griechisch Arbylos Άρβυλος für Schustermesser) oder die Sichel des Archimedes ist eine spezielle, von drei Halbkreisen begrenzte geometrische Figur. Der berühmte griechische Mathematiker Archimedes soll die Eigenschaften des Arbelos untersucht und in seinem Buch der Lemmata beschrieben haben.

Der zusätzlich in die Skizze eingezeichnete Kreis stimmt im Flächeninhalt mit dem Arbelos überein.

Beweis [Bearbeiten]

Man zeichne das Hilfsdreieck $ABC$ . Die Seite $AB$ ist die Hypotenuse des Dreiecks, bestehend aus den Abschnitten $AD$ und $DB$ . Nach dem zweiten Satz des Euklid ist das Quadrat über der Höhe des Dreiecks $ABC$ gleich dem Produkt der beiden Hypotenusen-Abschnitte:

$DC ^2 = AD \cdot DB$

Der Kreis, dessen Durchmesser durch $D$ und $C$ geht, habe den Radius $r$ . Die Höhe des Dreiecks ist also $2r$ . Die Strecke $AB$ ist der Durchmesser des großen Halbkreises. Nennt man den Radius des kleineren Halbkreises $a$ und denjenigen des kleinsten Halbkreises $b$ , so ist $AB = 2a + 2b$ . Der Radius des großen Halbkreises ist demnach die Hälfte von $2a + 2b$ , also $a + b$ .

Nach dem Höhensatz des Euklid gilt: $(2r)^2 = 2a \cdot 2b$ , also $r^2 = a \cdot b$ .

Mit algebraischen Methoden (also abstraktem Ausrechnen – diese standen den Griechen noch nicht zur Verfügung) sieht man schnell, dass die Behauptung stimmt (man gewinnt jedoch keinerlei Einsichten, warum das so ist). Der Flächeninhalt $F$ des Arbelos ist gleich dem Flächeninhalt des großen Halbkreises minus dem Flächeninhalt der beiden kleinen Halbkreise:

$\begin{align} F_{Arbelos} & = \frac{1}{2} \pi (a + b)^2 - \left(\frac{1}{2} \pi a^2 + \frac{1}{2} \pi b^2 \right) = \frac{1}{2} \pi (a + b)^2 - \frac{1}{2} \pi \left(a^2 + b^2 \right) = \\ & = \frac{1}{2} \pi \left(a^2 + 2 a b + b^2 - a^2 - b^2 \right) = \frac{1}{2} \pi \cdot 2 a b = \pi \cdot a \cdot b \end{align}$

Der Flächeninhalt des Kreises, der durch $D$ und $C$ geht, ist $r^2 \pi$ . Wie oben gezeigt, gilt nach dem zweiten Satz des Euklid $r^2 = a \cdot b$ . Es kann also in der Formel für den Flächeninhalt des Arbelos statt $a \cdot b$ nunmehr $r^2$ eingesetzt werden, somit ergibt sich: