Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus

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Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus sind die Umkehrfunktionen von Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus und damit Area-Funktionen.

Schreibweisen:

y = \operatorname{artanh}(x) = \tanh^{-1}(x)
y = \operatorname{arcoth}(x) = \coth^{-1}(x)

Letztere wird seltener benutzt, um die Verwechselung mit dem Kehrwert des hyperbolischen (Ko)Tangens zu vermeiden. Es ist \operatorname{artanh}(x)=\tanh^{-1}(x)\not= \tanh(x)^{-1}=\tfrac1{\tanh(x)}.

Definitionen[Bearbeiten]

Areatangens Hyperbolicus:

\operatorname{artanh}(x) := \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)\quad \mathrm{f\ddot{u} r} \quad |x| < 1

Areakotangens Hyperbolicus:

\operatorname{arcoth}(x) := \frac{1}{2} \ln\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)\quad \mathrm{f\ddot{u} r} \quad |x| > 1

Geometrische Definitionen[Bearbeiten]

Geometrisch lässt sich der Areatangens Hyperbolicus durch die Fläche in der Ebene darstellen, welche die Verbindungsstrecke zwischen dem Koordinatenursprung (x, y) = (0, 0) und der Hyperbel x^2-y^2=1 überstreicht: Es seien (x, -y) = \left(x, -\sqrt{x^2-1} \right) und (x, y) = \left(x, +\sqrt{x^2-1} \right) Start- und Endpunkt auf der Hyperbel, dann wird von der Verbindungsstrecke die Fläche A = \operatorname{artanh} \left(\frac{y}{x}\right) überstrichen.

Spezielle Werte[Bearbeiten]

\begin{alignat}{2}\operatorname{artanh} (0)&=0 &\quad \operatorname{arcoth} (0)&= \tfrac12\pi\mathrm i \\ \operatorname{artanh} (\mathrm i)&=\tfrac14\pi\mathrm i &\quad \operatorname{arcoth}(\mathrm i)&=-\tfrac14\pi\mathrm i\end{alignat}

Eigenschaften[Bearbeiten]

Graph der Funktion artanh(x)
Graph der Funktion arcoth(x)
  Areatangens Hyperbolicus Areakotangens Hyperbolicus
Definitionsbereich  -1 < x < 1  -\infty < x < -1
 1 < x < \infty
Wertebereich  -\infty < f(x) < \infty  -\infty < f(x) < \infty; \; f(x) \ne 0
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend keine
Symmetrien ungerade Funktion:  f(-x) = -f(x) ungerade Funktion:  f(-x) = -f(x)
Asymptoten x=1\colon \, f(x)\to \infty \text{ für } x \to 1
x=-1\colon \, f(x)\to -\infty \text{ für } x \to -1
y=0\colon \, f(x)\to 0 \text{ für } x \to \pm \infty
Nullstellen  x = 0 keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen  x = \pm 1  x = \pm 1
Extrema keine keine
Wendepunkte  x = 0 keine

Reihenentwicklungen[Bearbeiten]

Taylor- und Laurent-Reihen der beiden Funktionen sind


\begin{alignat}{2} 
\operatorname{artanh}(x) &= \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{2k+1} & = x + \frac13 x^3 + \frac15 x^5+\frac17x^7+\ldots & {}
\\ \operatorname{arcoth}(x) &= \sum_{k=1}^\infty \frac{x^{-2k+1}}{2k-1} & = x^{-1}+\frac13x^{-3}+\frac15x^{-5}+\frac17x^{-7}+\ldots & {}
\\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1) \cdot x^{2k+1}} & = \frac{1}{x} + \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{5x^5} + \frac{1}{7x^7} + \ldots & {} \end{alignat}

Ableitungen[Bearbeiten]

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \operatorname{artanh}(x)= \frac{1}{1-x^2} \, ; \quad |x| < 1 .
 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \operatorname{arcoth}(x)= \frac{1}{1-x^2} \, ; \quad |x| > 1 .

Integrale[Bearbeiten]

Die Stammfunktionen lauten:

\int \operatorname{artanh}(x)\, \mathrm{d}x = x\cdot \operatorname{artanh}(x) + \frac12\ln\left(1 - x^2\right).
\int \operatorname{arcoth}(x)\, \mathrm{d}x = x\cdot \operatorname{arcoth}(x) + \frac12\ln\left(x^2 - 1\right).

Additionstheorem[Bearbeiten]

 \operatorname{artanh}(x) \pm \operatorname{artanh}(y) = \operatorname{artanh} \left( \frac{x \pm y}{1 \pm xy}\ \right)

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]