Arithmetisch-geometrisches Mittel
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
In der Mathematik bezeichnet man als arithmetisch-geometrisches Mittel zweier positiver reeller Zahlen eine gewisse Zahl, die zwischen dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittel liegt.
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Definition
Es seien a und b zwei nichtnegative reelle Zahlen. Ausgehend von ihnen werden induktiv zwei Folgen (an) und (bn) mit a0 = a, b0 = b definiert:
Die Folgen (an) und (bn) konvergieren gegen einen gemeinsamen Grenzwert M(a,b), der als arithmetisch-geometrisches Mittel von a und b bezeichnet wird.
Dass die beiden Grenzwerte tatsächlich existieren und darüber hinaus sogar noch gleich sind, wird weiter unten in „Wichtige Eigenschaften“ gezeigt.
[Bearbeiten] Einfaches Beispiel
Sei a0 = 4 und b0 = 9. Dann ist
und 
und 

[Bearbeiten] Einfache Eigenschaften
Für zwei nichtnegative Werte a und b gilt:

für
, das heißt, das arithmetisch-geometrische Mittel ist − wie jede Mittelwertfunktion − eine lineare Funktion ihrer beiden Variablen a und b.
; Gleichheit gilt dabei genau für a = b.
[Bearbeiten] Wichtige Eigenschaften
- Monotonie: Für zwei positive Startwerte 0 < b0 < a0 gilt nach der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel stets auch bn < an. Die Folge b0,b1,b2,... ist also monoton wachsend und durch a0 nach oben beschränkt, deshalb konvergiert sie gegen einen Grenzwert β. Andererseits ist die Folge a0,a1,a2,... monoton fallend und nach unten beschränkt, das heißt, sie konvergiert gegen einen Grenzwert α. Oder anders geschrieben:
Geht man nun in der Definitionsgleichung an+1 = (an + bn)/2 zum Grenzwert über (das ist erlaubt, weil alle Grenzwerte existieren), dann erhält man α = (α + β)/2, woraus α = β folgt. Somit sind die beiden Grenzwerte gleich und es ist α = β = M(a,b) das arithmetisch-geometrische Mittel.
- Konvergenzgeschwindigkeit: Sei
. Wegen der Abschätzung
liegt ein Verfahren mit quadratischer Konvergenz vor.
[Bearbeiten] Alternative Darstellung
Man kann beide Folgen auch voneinander "entkoppeln": Sei a0 = a, b0 = b,
und
. Dann kann man die obigen Gleichungen umformen zu:
[Bearbeiten] Historisches
Das arithmetisch-geometrische Mittel wurde unabhängig voneinander von den Mathematikern Carl Friedrich Gauß und zuvor schon von Adrien-Marie Legendre entdeckt. Sie nutzten es, um die Bogenlänge von Ellipsen, also elliptische Integrale, näherungsweise zu berechnen. Gauß etwa notierte die Gleichung
in seinen mathematischen Tagebüchern.
[Bearbeiten] Verfahren von Salamin und Brent
Das nachfolgende Verfahren zur Berechnung der Kreiszahl π wurde 1976 unabhängig voneinander von Richard Brent und Eugene Salamin publiziert. Es nutzt wesentlich die Erkenntnisse von Gauß über das arithmetisch-geometrische Mittel. Gauß bemerkte zu seiner Zeit allerdings nicht, dass sich damit auch ein schneller Algorithmus zur Berechnung der Zahl π konstruieren lässt. Dennoch wird das Verfahren oft auch als Methode von Gauß, Brent und Salamin bezeichnet.
Die Schritte des Verfahrens können folgendermaßen beschrieben werden:
- Initialisierung: Man verwendet als Startwerte
- Schleife: Für n = 1,2,... berechnet man
Die Folge der (pn) konvergiert quadratisch gegen π, das heißt, dass mit jedem Durchlaufen der Schleife sich die Zahl der korrekt berechneten Ziffern etwa verdoppelt. Damit konvergiert dieser Algorithmus deutlich schneller gegen π als viele klassische Verfahren.
[Bearbeiten] Zahlenbeispiel
Mit den Startwerten
berechnet man rekursiv:
| Index n | an | bn | cn | sn | pn |
|---|---|---|---|---|---|
| n = 0 | 1 | 0,70710 67811 86547 | 0,5 | ||
| n = 1 | 0,85355 33905 93274 | 0,84089 64152 53715 | 0,02144 66094 06726 | 0,45710 67811 86547 | 3,18767 26427 12110 |
| n = 2 | 0,84722 49029 23494 | 0,84720 12667 46891 | 0,00004 00497 56187 | 0,45694 65821 61801 | 3,14168 02932 97660 |
| n = 3 | 0,84721 30848 35193 | 0,84721 30847 52765 | 0,00000 00001 39667 | 0,45694 65810 44462 | 3,14159 26538 95460 |
Nach drei Iterationen erhält man für das arithmetisch-geometrische Mittel den Näherungswert 
Für die Zahl π ergibt sich die Näherung 
[Bearbeiten] Beziehung zu elliptischen Integralen
Es gilt:
Die rechte Seite ist ein vollständiges elliptisches Integral erster Art.
[Bearbeiten] Literatur
- Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM, A Study in Analytic Number Theory an Computational Complexity. John Wiley, New York 1987, ISBN 0-471-31515-X.
(
(












