Arithmetische Gruppe

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In der Mathematik spielen arithmetische Gruppen eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie, Differentialgeometrie, Topologie, Algebraischen Geometrie und in der Theorie der Lie-Gruppen. Es handelt sich um arithmetisch definierte Gitter in Lie-Gruppen; klassische Beispiele sind die Modulgruppe SL(2,\Z) und allgemein die Gruppen SL(n,\Z) für n\ge 2. Arithmetizität ist stets in Bezug auf eine umgebende Lie-Gruppe definiert. Nach einem Satz von Margulis sind alle irreduziblen Gitter in halbeinfachen Lie-Gruppen vom Rang \ge2 ohne kompakten Faktor immer arithmetische Untergruppen.

Definition[Bearbeiten]

Sei G eine nichtkompakte halbeinfache Lie-Gruppe, \Gamma\subset G eine Untergruppe. \Gamma heißt arithmetisch, wenn es

gibt, so dass \phi(\Gamma K) kommensurabel zu (\mathrm{G}(\Z)\cap \mathrm{G}(\R)_0)K^\prime ist.

Anmerkung: Eine über \Q definierte lineare algebraische Gruppe ist - per Definition - eine durch Polynome mit rationalen Koeffizienten definierte Untergruppe G\subset GL(n,\R). Wenn \mathrm{G} eine über \Q definierte lineare algebraische Gruppe ist, dann ist \mathrm{G}(\Z) ein Gitter in \mathrm{G}(\R). Folglich ist jede arithmetische Gruppe ein Gitter in der Zusammenhangskomponente der umgebenden Lie-Gruppe.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Nach Definition ist klar, dass SL(n,\Z)\subset SL(n,\R) und auch zu SL(n,\Z) kommensurable Gruppen arithmetisch sind.
  • Bezeichne \Z\left[i\right]\subset\C die Gruppe der ganzen Gaußschen Zahlen. GL(n,\Z\left[i\right]) ist eine arithmetische Untergruppe von GL(n,\C), denn es ist \phi(GL(n,\Z\left[i\right])=\phi(GL(n,\C))\cap GL(2n,\Z) für die kanonische Einbettung \phi:GL(n,\C)\rightarrow GL(2n,\R).
  • Sei SO(1,n)=\left\{g\in SL(n+1,\R):gI_{1,n}g^T=I_{1,n}\right\}, wobei I_{1,n} die Diagonalmatrix I_{1,n}=diag(1,-1,-1,\ldots,-1) bezeichnet und sei SO(1,n,\Z)=SO(1,n)\cap SL(n+1,\Z). Dann ist SO(1,n,\Z) eine arithmetische Untergruppe von SO(1,n), denn SO(1,n) ist durch Polynome mit rationalen Koeffizienten definiert.
  • Im Folgenden wollen wir die Definition auf eine Klasse von weniger offensichtlichen Beispielen anwenden, nämlich auf die Hilbertschen Modulgruppen.

Sei

k=Q\left[\sqrt{D}\right]=\left\{a+b\sqrt{D}:a,b\in\Q\right\}

ein reeller quadratischer Zahlkörper - für eine quadratfreie ganze Zahl D>0 mit D\cong 3\ mod\ 4 - und O_k\subset k sein Ganzheitsring. Es gibt zwei durch \sigma_\pm(a+b\sqrt{D})=a\pm b\sqrt{D} definierte Einbettungen \sigma_\pm:k\rightarrow\R und dementsprechend zwei Einbettungen \sigma_\pm:SL(2,k)\rightarrow SL(2,\R).

Wir betrachten die halbeinfache Lie-Gruppe

G=SL(2,\R)\times SL(2,\R) und die Untergruppe \Gamma=\left\{(\sigma_+(A),\sigma_-(A)):A\in SL(2,O_k)\right\}\subset G

und wollen zeigen, dass \Gamma eine arithmetische Gruppe ist.

Wir betrachten zunächst die algebraische Varietät

\mathrm{H}:=\left\{(\begin{array}{cc}a&b\\
c&d\end{array}): d=a,c=bD\right\}\subset Mat(2,\C)

und den durch

\psi(a+b\sqrt{D})=(\begin{array}{cc}a&b\\
bD&a\end{array}) definierten Homomorphismus :\psi:k\rightarrow \mathrm{H}(\Q)\subset Mat(2,\Q).

Dann ist \psi(O_k)=\mathrm{H}(\Z).

Wir bemerken, dass es einen bijektiven (additiven und multiplikativen) Homomorphismus \Psi:\R\times \R\rightarrow \mathrm{H}(\R) mit

\Psi\circ(\sigma_+,\sigma_-)=\psi,

also \Psi(a+b\sqrt{D},a-b\sqrt{D})=\psi(a+b\sqrt{D}) für alle a+b\sqrt{D}\in k gibt, nämlich \Psi(x,y)=(\begin{array}{cc}\frac{x+y}{2}&\frac{x-y}{2\sqrt{D}}\\
\frac{x-y}{2}\sqrt{D}&\frac{x+y}{2}\end{array}).

Nun betrachten wir die lineare algebraische Gruppe

\mathrm{G}:=\left\{X=(\begin{array}{cc}A&B\\
C&D\end{array}):A,B,C,D\in \mathrm{H}, AD-BC=(\begin{array}{cc}1&0\\
0&1\end{array})\right\}\subset GL(4,\C).

(Hier sind A,B,C,D 2x2-Blöcke in einer 4x4-Matrix.)

Wir definieren einen Gruppen-Homomorphismus

\phi:SL(2,\R)\times SL(2,\R) \rightarrow \mathrm{G}(\R)\subset GL(4,\R) durch \phi((\begin{array}{cc}a&b\\
c&d\end{array}),(\begin{array}{cc}a^\prime&b^\prime\\
c^\prime&d^\prime\end{array}))
=(\begin{array}{cc}\Psi(a,a^\prime)&\Psi(b,b^\prime)\\
\Psi(c,c^\prime)&\Psi(d,d^\prime)\end{array}).

\phi bildet tatsächlich nach \mathrm{G}(\R) ab: offensichtlich liegen die Blöcke der Bildmatrizen in \mathrm{H}, außerdem ist \Psi(a,a^\prime)\Psi(d,d^\prime)-\Psi(b,b^\prime)\Psi(c,c^\prime)=(\begin{array}
{cc}\frac{det(X)+det(Y)}{2}&\frac{det(X)-det(Y)}{2\sqrt{D}}\\
\frac{det(X)-det(Y)}{2}\sqrt{D}&\frac{det(X)+det(Y)}{2}\end{array})=(\begin{array}{cc}1&0\\
0&1\end{array}) mit X=(\begin{array}{cc}a&b\\
c&d\end{array}), Y=\begin{array}{cc}a^\prime&b^\prime\\
c^\prime&d^\prime\end{array}).

Aus der Bijektivität von \Psi folgt, dass auch \phi bijektiv und mithin ein Isomorphismus ist.

Wegen \phi(\Gamma)=\mathrm{G}(\Z) beweist das die Arithmetizität von \Gamma.

Arithmetische Untergruppen von SL(n,R)[Bearbeiten]

Alle arithmetischen Untergruppen von SL(n,\R) kann man mittels Divisionsalgebren, mittels unitärer Gruppen oder mittels einer Kombination dieser beiden Methoden konstruieren.

Divisionsalgebren[Bearbeiten]

Sei eine Körpererweiterung von \Q mit \left[F:\Q\right]=d und sei \mathcal{O} der Ganzheitsring von F. Sei j\in\C mit j^d\in \Z und jx=\eta(x)j für das nichttriviale Element \eta\in Gal(F/\Q) und alle x\in F.

Wir betrachten die Divisionsalgebra D=F+Fj+Fj^2+\ldots+Fj^{d-1} und D_{\Z}={\mathcal O}+{\mathcal O}j+{\mathcal O}j^2+\ldots+{\mathcal O}j^{d-1}.

Dann ist SL(n,D_{\Z}) eine arithmetische Untergruppe von SL(dn,\R).

Unitäre Gruppen[Bearbeiten]

Sei F=\Q\left[\sqrt{r}\right] mit r\in\Z und sei \eta\in Gal(F/\Q) das nichttriviale Element der Galoisgruppe. Sei A\in GL(n,F) eine hermitesche Matrix.

Wir betrachten SU(A,\eta;F)=\left\{g\in SL(n,F):gA(\eta(g))^T=A\right\}.

Dann ist SU(A,\eta;\Z\left[\sqrt{r}\right])=SU(A,\eta;F)\cap SL(n,\Z\left[\sqrt{r}\right]) eine arithmetische Untergruppe von SL(n,\C).

Kombination[Bearbeiten]

Sei F=\Q\left[\sqrt{r}\right] mit r\in\Z und sei \eta\in Gal(F/\Q) das nichttriviale Element. Sei D eine Divisionsalgebra über F, so dass \eta zu einem Antiautomorphismus von D fortgesetzt werden kann. Sei A\in GL(n,D) eine hermitesche Matrix, d.h. (\eta(A))^T=A.

Dann ist SU(A,\eta;D_{\Z}) eine arithmetische Untergruppe von SU(A,\eta;D\otimes_{\Q}\R).

Q-Rang und R-Rang[Bearbeiten]

Spaltende Tori[Bearbeiten]

Sei G\subset GL(n,\C) eine algebraische Gruppe. Ein Torus ist eine abgeschlossene, zusammenhängende Untergruppe T\subset G, die (über \C) diagonalisierbar ist, das heißt es gibt einen Basiswechsel B\in GL(n,\C) so dass BTB^{-1} aus diagonalisierbaren Matrizen besteht.

Der Torus heißt \R-spaltend, wenn man B\in GL(n,\R) wählen kann. Zum Beispiel ist SO(2) kein \R-spaltender Torus in SL(2,\R), die Gruppe der Diagonalmatrizen (mit Determinante 1) aber doch. Der \R-Rang einer algebraischen Gruppe ist die maximale Dimension eines \R-spaltenden Torus. Zum Beispiel ist \R-rk(SL(n,\R))=n-1 oder \R-rk(SO(n))=0.

Ein Torus heißt \Q-spaltend, wenn er über \Q definiert ist und man B\in GL(n,\Q) wählen kann.

Q-Rang[Bearbeiten]

Für eine arithmetische Gruppe \Gamma\subset G gibt es per Definition eine über \Q definierte zusammenhängende lineare algebraische Gruppe \mathrm{G} und einen Isomorphismus \phi, so dass (modulo kompakter Gruppen) das Bild von \Gamma zu \mathrm{G}(\Z)\cap \mathrm{G}(\R)_0 isomorph ist. Der \Q-Rang von \Gamma wird definiert als die Dimension eines maximalen \Q-spaltenden Torus in \mathrm{G}. (Man beachte, dass \Q-rk(\Gamma) nur von \mathrm{G} abhängt, dass aber verschiedene arithmetische Untergruppen \Gamma_1,\Gamma_2\subset G einer Lie-Gruppe G unterschiedlichen \Q-Rang haben können, weil die zu wählenden algebraischen Gruppen \mathrm{G}_1,\mathrm{G}_2 sich unterscheiden.)

Beispiele[Bearbeiten]

Man sieht leicht, dass \R-rk(SL(2,\R)\times SL(2,\R))=\Q-rk(SL(2,\R)\times SL(2,\R))=2. Die arithmetische Untergruppe SL(2,\Z)\times SL(2,\Z)\subset SL(2,R)\times SL(2,\R) hat also \Q-Rang 2. Der \Q-Rang der oben besprochenen Hilbertschen Modulgruppe ist hingegen der \Q-Rang der oben konstruierten Gruppe \mathrm{G}:=\left\{X=(\begin{array}{cc}A&B\\
C&D\end{array}):A,B,C,D\in \mathrm{H}, det(X)=1\right\}\subset GL(4,\C). Man kann zeigen, dass \left\{diag(\lambda,\lambda,\frac{1}{\lambda},\frac{1}{\lambda}):\lambda\in \R^\times\right\} ein maximaler \Q-spaltender Torus in \mathrm{G}(\R) ist, mithin \Q-rk(\Gamma)=\Q-rk(\mathrm{G}(\R))=1.

Geometrische Interpretation[Bearbeiten]

Sei G eine nichtkompakte halbeinfache Lie-Gruppe ohne kompakten Faktor, K eine maximal kompakte Untergruppe und \Gamma\subset G ein arithmetisches Gitter. Die Killing-Form definiert eine Riemannsche Metrik auf G/K, man erhält einen symmetrischen Raum. Der \R-Rang von G läßt sich interpretieren als die Dimension eines maximalen flachen Unterraumes (d.h. einer einfach zusammenhängenden total-geodätischen Untermannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant 0) in G/K.

Der Quotient X=\Gamma\backslash G/K ist ein lokalsymmetrischer Raum. Der \Q-Rang von \Gamma läßt sich interpretieren als die maximale Dimension eines flachen Unterraumes in einer endlichen Überlagerung von X oder als die kleinste Zahl r, so dass ganz X in endlichem Abstand von einer endlichen Vereinigung r-dimensionaler flacher Unterräume ist. Insbesondere ist \Q-rk(\Gamma)=0 falls X kompakt ist.

Arithmetizitäts-Satz von Margulis[Bearbeiten]

Satz: Sei G eine halbeinfache Lie-Gruppe ohne kompakten Faktor mit \R-rk(G)\ge 2. Dann ist jedes irreduzible Gitter \Gamma\subset G arithmetisch.

Erläuterungen: Ein Gitter ist eine diskrete Untergruppe \Gamma\subset G mit vol(\Gamma\backslash G)<\infty, wobei das Volumen bzgl. des Haarmaßes berechnet wird. Ein Gitter heißt irreduzibel falls es keine Zerlegung G=G_1\times G_2,\Gamma=\Gamma_1\times \Gamma_2 mit Gittern \Gamma_1\subset G_1,\Gamma_2\subset G_2 gibt.

Literatur[Bearbeiten]

  • Ji, Lizhen: Arithmetic groups and their generalizations. What, why, and how. AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, 43. American Mathematical Society, Providence, RI; International Press, Cambridge, MA, 2008. ISBN 978-0-8218-4675-9
  • Platonov, V.; Rapinchuk, A.: Algebraic Groups and Number Theory. Academic Press, New York, 1994. pdf

Weblinks[Bearbeiten]