Arithmetische Reihe

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Arithmetische Reihen sind spezielle mathematische Reihen. Eine arithmetische Reihe ist die Folge, deren Glieder die Summe der ersten n Glieder (den Partialsummen) einer arithmetischen Folge sind. Arithmetische Reihen sind im Allgemeinen divergent. Es interessieren deshalb vor allem die Partialsummen, die auch als endliche arithmetische Reihen bezeichnet werden.

In einer arithmetische Folge lässt sich das \ i-te Folgenglied \ a_i als

a_i = id + a_0 \,

schreiben, wobei d hier die Differenz zwischen zwei Folgengliedern ist, also

a_i = i(a_{n+1} - a_n) + a_0 \,.

Die n-te Partialsumme \ s_n einer arithmetischen Reihe ergibt sich zu

s_n = a_0 + (a_0 + d) + (a_0 + 2 d) + \dotsb + (a_0 + (n-1) d)  + (a_0 + n d) = \sum_{i=0}^n (a_0 + id).

Allgemeine Summenformel[Bearbeiten]

Es gibt eine einfache Formel zur Berechnung der Partialsummen (beziehungsweise der endlichen arithmetischen Reihe):

s_n = \sum_{i=0}^n(i \cdot d + a_0)  =  a_0 (n+1) + d\, \frac{n(n+1)}{2} = (n+1)\left(a_0 + d\,\frac{n}{2}\right) = (n+1) \cdot \frac{a_0 + a_n}{2}\ .

In der letzten Form lässt sich die Formel besonders leicht merken: Die Summe einer endlichen arithmetischen Folge ist die Anzahl der Glieder multipliziert mit dem arithmetischem Mittel des ersten und des letzten Gliedes.

Der Beweis dieser Gleichung wird häufig als erstes Anwendungsbeispiel für die Methode der vollständigen Induktion verwendet.

Spezielle Summen[Bearbeiten]

Für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen gilt die Gaußsche Summenformel

\sum_{k=1}^n k = 1 + 2 + 3 +\dotsb+ n = \frac{n(n+1)}{2}

und für die Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen

\sum_{k=1}^n(2k-1) = \sum_{k=0}^{n-1}(2k+1) = 1 + 3 + 5 + 7 +\dotsb+ (2n-1) = n^2

mit a_0=1 \,, d=2 \,.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]